Giải bài 3.3 trang 37 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài 3.3 trang 37 Toán 10:

Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin²α + cos²α = 1;

b) $1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }\: (\alpha \neq 90^0)$

c) $1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\: (0^0<\alpha < 180^0)$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh các hệ thức này, chúng ta cần dựa vào định nghĩa của các tỉ số lượng giác trên đường tròn đơn vị và các công thức liên hệ cơ bản.

• Phần a: Dựa vào định nghĩa $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ trên đường tròn đơn vị và sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông.

• Phần b và c: Sử dụng công thức ở phần a để biến đổi vế trái của mỗi hệ thức. Cần nhớ định nghĩa của tanα=sinα/cosα​ và cotα=cosα/sinα​.

Lưu ý rằng các điều kiện của góc $\alpha$ (α≠90^∘, 0^∘< α < 180^∘) đảm bảo rằng các biểu thức có nghĩa.

Lời giải chi tiết:

a) Lấy điểm M trên nửa đường tròn đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ Từ M kẻ MH ⊥ Ox và MK ⊥ Oy như hình sau:

Khi đó:

OH = |cosα| , OK = |sinα| = sinα.

Xét tam giác OHK vuông tại O, ta có:

OH² + OK² = HK² (định lí Pythagore)

Mà HK = OM = 1 (tứ giác OHMK là hình chữ nhật)

Do đó, OH² + OK² = 1

⇒ |cosα|² + (sinα)² = 1

hay sin²α + cos²α = 1 (đpcm).

b)Chứng minh: $1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }\: (\alpha \neq 90^0)$

Ta có: $1+tan^2\alpha =1+\left ( \frac{sin\alpha }{cos\alpha } \right )^2$

$=1+\frac{sin^2\alpha }{cos^2\alpha }$ $=\frac{cos^2\alpha +sin^2\alpha }{cos^2\alpha }$ $=\frac{1}{cos^2\alpha }\: \: (\alpha \neq 90^0)$

c) Chứng minh: $1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\: (0^0<\alpha < 180^0)$

Ta có: $1+tan^2\alpha =1+\left ( \frac{cos\alpha }{sin\alpha } \right )^2$

$=1+\frac{cos^2\alpha }{sin^2\alpha }=\frac{sin^2\alpha +cos^2\alpha }{sin^2\alpha }$ $=\frac{1}{sin^2\alpha }\: \: (0<\alpha < 180^0)$