Giải bài 3.12 trang 44 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài 3.12 trang 44 Toán 10:

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=135^0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $A.\: S=\frac{1}{2}ca$    $B.\: S=\frac{-\sqrt{2}}{4}ca$    $C.\: S=\frac{\sqrt{2}}{4}bc$    $D.\: S=\frac{\sqrt{2}}{4}ca$

b) $A.\: R=\frac{a}{sinA}$    $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$    $C.\: R=\frac{\sqrt{2}}{2}c$    $D.\: R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

c) $A.\:a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$   $B.\: \frac{b}{sinA}=\frac{a}{sinB}$   $C.\: sinB=\frac{-\sqrt{2}}{2}$  $D.\: b^2=c^2+a^2-2ca.cos135^0$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần (a, b, c) bằng cách áp dụng các công thức lượng giác đã học:

• Công thức diện tích: S$=\frac{1}{2}ab\sin C$ $=\frac{1}{2}ac\sin B$ $=\frac{1}{2}bc\sin A.$

• Định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ $=\frac{c}{\sin C}=2R.$

• Định lý cosin: 

  a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,

  b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,

  c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.

Ta có $\sin 135^\circ=\sin(180^\circ-45^\circ)$ $=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Và $\cos 135^\circ=\cos(180^\circ-45^\circ)$ $=-\cos 45^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Lời giải bài 3.12 trang 44 Toán 10:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Đáp án: D.

Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}ac.sinB$ $=\frac{1}{2}ac.sin135^0$ $=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$

b) Đáp án: B

Theo định lí hàm sin: $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$

 $\Rightarrow R=\frac{b}{2sinB}=\frac{b}{2sin135^0}$ $=\frac{b}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b$

c) Đáp án: D

Theo định lí cos, ta có:

b² = a² + c² – 2ac.cosB = a² + c² – 2ac.cos135⁰.