Hotline 0936685849

Bài 1.15 trang 19 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

16:46:1421/03/2024

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 1.15 trang 19 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1. Đây là một bài toán tối ưu hóa thực tế, giúp các em ứng dụng kiến thức về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải quyết một vấn đề trong sản xuất.

Đề bài:

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm³. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm³, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm². Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài yêu cầu tìm kích thước của một chiếc bình hình trụ (bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ ) sao cho chi phí vật liệu là nhỏ nhất. Chúng ta có các thông tin sau:

Dung tích (thể tích) của bình là $V = 1000 cm^{3}$ .
Chi phí vật liệu mặt trên và dưới: 1,2 nghìn đồng/ $c m^{2}$ .
Chi phí vật liệu mặt bên: 0,75 nghìn đồng/ $c m^{2}$ .

Để giải bài toán này, các em sẽ thực hiện các bước sau:

Thiết lập hàm số chi phí: Dùng công thức thể tích hình trụ để biểu diễn chiều cao $h$ theo bán kính $r$ . Sau đó, xây dựng hàm số biểu thị tổng chi phí vật liệu theo biến duy nhất là bán kính $r$ . Tổng chi phí = (chi phí đáy trên và dưới) + (chi phí mặt bên).
Tìm miền giá trị của biến: Bán kính và chiều cao phải là số dương.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: Sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số chi phí.
Kết luận: Dựa vào kết quả tìm được, xác định kích thước của bình để chi phí là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (cm) là bán kính đáy của bình (x > 0)

Chiều cao của bình là: $\frac{1000}{\pi .x^2}(cm)$

Chi phí để sản xuất một chiếc bình là:

$T(x)=2.1,2.\pi .x^2+0,75.\frac{2000}{x}$ $=2,4\pi x^2+\frac{1500}{x}$ (nghìn đồng)

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T(x) là nhỏ nhất.

$T'(x)=4,8\pi x-\frac{1500}{x^2}=0$ $\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}(t/m)$

Bảng biến thiên:

Giải bài 1.15 trang 19 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là $\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}$ (≈4,635 cm) và chiều cao của bình là: $\frac{1000}{\pi .\left ( \sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }} \right )}(cm)$ (≈14,84 cm)

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tìm giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng cách sử dụng công cụ đạo hàm. Việc xây dựng hàm số chi phí một cách chính xác và tìm điểm cực trị của nó là phương pháp hiệu quả để giải quyết nhiều vấn đề thực tế trong kinh tế và kỹ thuật.

Bài 1.15 trang 19 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Lời giải chi tiết:

Đánh giá & nhận xét