Bài 1.13 trang 19 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Trong các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài yêu cầu tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi biết chu vi của nó là 24 cm.

Để giải bài toán này, các em sẽ thực hiện các bước sau:

1. Thiết lập hàm số: Gọi các cạnh của hình chữ nhật là $x$ và $y$. Từ chu vi đã cho, các em sẽ biểu diễn một cạnh theo cạnh còn lại. Sau đó, xây dựng hàm số biểu thị diện tích theo một biến duy nhất.

2. Tìm miền giá trị của biến: Xác định điều kiện của biến để nó có ý nghĩa trong bài toán hình học (độ dài cạnh phải là số dương).

3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: Sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số diện tích.

4. Kết luận: Dựa vào kết quả tìm được, xác định kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (cm) chiều dài của hình chữ nhật là x (0 < x < 12)

Chiều rộng của hình chữ nhật là: 12 - x (cm)

Diện tích của hình chữ nhật là: x(12 - x) = -x² + 12x (cm²)

Đặt S(x) = -x² + 12x, với x ∈ (0; 12)

S'(x) = -2x + 12 = 0 ⇔ x = 6 (thỏa)

Bảng biến thiên:

Vậy, trong các hình có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 36 cm².