Hệ phương trình đối xứng loại 1, Cách giải và Bài tập vận dụng - Toán lớp 10

Vậy hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng như thế nào? cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 ra sao? chúng ta sẽ làm biết trong bài viết này và qua đó vận dụng giải minh họa một số bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 1.

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 2 cực hay

• Hệ phương trình đối xứng loại 1

- Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng:  trong đó 

* Ví dụ: Hệ phương trình đối xứng loại 1: 

• Định lý Vi-ét cho phương trình bậc 2

- Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì

- Ngược lại, nếu hai số x₁, x₂ có:  thì x₁, x₂ là nghiệm của phương trình:

• Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1

+ Bước 1: Biểu diễn từng phương trình của hệ qua x+y và xy.

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy. Điều kiện hệ có nghiệm là S² ≥ 4P. Ta được hệ mới chứa ẩn S và P.

+ Bước 3: Giải hệ phương trình với ẩn S, P để tìm ra S và P (sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số).

+ Bước 4: Tìm được S và P, khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai:

 X² - SX + P = 0

+ Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

* Lưu ý: Vì hệ phương trình là đối xứng nên nếu (x₀;y₀) là nghiệm của hệ thì (y₀;x₀) cũng là nghiệm của hệ phương trình.

• Bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 1 có lời giải

* Bài tập 1: Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 sau:  (I)

* Lời giải:

- Ta có:  

Đặt S = x + y; P = xy điều kiện S² ≥ 4P, ta được:

Mà S² ≥ 4P nên ta thấy chỉ có S = 3, P = 2 thỏa mãn.

Khi đó: x, y là nghiệm của phương trình bậc hai: X² - 3X + 2 = 0

 ⇔ (X - 1)(X - 2) = 0  ⇔ X = 1 hoặc X = 2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;2), (2;1).

* Bài tập 2: Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 sau: 

* Lời giải:

- Điều kiện: x≥0, y≥0;

Đặt  

Điều kiện S≥0; P≥0 và S² ≥ 4P. khi đó hệ (I) trở thành:

Ta thấy S, P ≥0 và S² ≥ 4P nên chỉ có S = 4; P = 3 thỏa điều kiện.

Khi đó √x và √y là 2 nghiệm của phương trình: X² - 4X + 3 = 0

 ⇔ (X - 1)(X - 3) = 0  ⇔ X = 1 hoặc X = 3.

- Trường hợp 1: 

- Trường hợp 2: 

Ta thấy cả 2 cặp nghiệp đều thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x;y) = {(1;9); (9;1)}.

* Bài tập 3: Cho hệ phương trình đối xứng loại 1 có tham số m: 

Tìm m để hệ phương trình đối xứng trên có đúng hai nghiệm.

* Lời giải:

- Ta có: 

Đặt S = x + y; P = xy khi đó (I) trở thành:

Khi đó (x;y) là nghiệm của phương trình bậc hai:

Như vậy để hệ có nghiệm duy nhât thì m = 0; khi đó 2 ngiệm của hệ là: (x;y) = {(1;1); (-1;-1)}.

* Bài tập 4: Giải hệ phương trình đối xứng loại 1:

* Lời giải:

- Ta có: 

Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện S² ≥ 4P. Ta có hệ

Từ: S² - 2(17 + S) = 65

⇔ S² - 2S - 99 = 0

⇔ (S + 9)(S - 11) = 0

⇔ S = -9 hoặc S = 11

+ Với S = -9  ⇒ P = 8 (thỏa), Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

 X² + 9X + 8 = 0 ⇔ (X + 1)(X + 8) = 0 ⇔ X = -1 hoặc X = -8

⇒ hệ có 2 nghiệm là: (x;y) = {(-1;-8); (-8;-1)};

+ Với S = 11  ⇒ P = 28 (thỏa), Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

 X² - 11X + 28 = 0 ⇔ (X - 4)(X - 7) = 0 ⇔ X = 4 hoặc X = 7

⇒ hệ có 2 nghiệm là: (x;y) = {(4;7); (7;4)};

- Kết luận: Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là: (x;y) = {(-1;-8); (-8;-1); (4;7); (7;4)}.

* Bài tập 5: Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 sau:

* Lời giải:

- Ta có:  

Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện S² ≥ 4P. Ta có hệ

Ta thế: SP = 2 - 8S vào S³ - 3PS = 19 được:

 S³ - 3(2 - 8S) = 19

⇔ S³ + 24S - 25 = 0 (nhẩm thấy có nghiệm S = 1) nên

⇔ (S - 1)(S² + S + 25) = 0 ⇔ S = 1

(vì S² + S + 25 = (S + 1/2)² + 99/4 ≥ 99/4 với mọi S).

+ Với S = 1 ⇒ P = – 6 (thỏa), khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

 X² - X - 6 = 0 ⇔ (X + 2)(X - 3) = 0 ⇔ X = -2 hoặc X = 3.

Vậy hệ có 2 nghiệm là: (x;y) = {(3;-2); (-2;3)}.