Hotline 0936685849

Giải 2.42 Toán 12 tập 1 SGK Kết nối tri thức: Ứng dụng tọa độ trong không gian

14:14:3102/10/2024

Bài 2.42 thuộc trang 74 của sách giáo khoa Toán 12 Tập 1, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Bài toán này là một ứng dụng thực tế của tọa độ trong không gian, giúp các em rèn luyện kỹ năng thiết lập hệ tọa độ và tính khoảng cách giữa hai điểm.

Đề bài:

Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà 0,5m, cách hai tường lần lượt là 1,2m và 1,6m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4m, cách hai tường đều là 1,5m.

a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài 2.42 trang 74 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, ta sẽ thiết lập một hệ trục tọa độ Oxyz tại một góc phòng để dễ dàng xác định tọa độ của bóng đèn.

a) Xác định tọa độ:
- Chọn gốc tọa độ O là giao điểm của hai bức tường và trần nhà.
- Các trục $Ox,Oy,Oz$ sẽ tương ứng với các cạnh của góc phòng.
- Tọa độ của bóng đèn sẽ được xác định dựa trên khoảng cách của nó đến các mặt phẳng tọa độ (tức là khoảng cách đến trần và hai bức tường).
b) Tính khoảng cách:
- Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$ trong không gian được tính bằng công thức: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Lời giải chi tiết bài 2.42 Toán 12

a) Lập hệ trục tọa độ và xác định tọa độ bóng đèn

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau:

Gốc tọa độ O là một góc phòng, tại giao điểm của hai bức tường và trần nhà.
Trục Ox nằm trên giao tuyến của bức tường bên trái và trần nhà.
Trục Oy nằm trên giao tuyến của bức tường bên phải và trần nhà.
Trục Oz nằm trên giao tuyến của hai bức tường. Đơn vị trên mỗi trục là mét.

Giải bài 2.42 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức:

Tọa độ bóng đèn lúc đầu (điểm A):
- Khoảng cách đến bức tường phải (trục $Oy$ ) là 1,2m $\Rightarrow x_A=1,2$ .
- Khoảng cách đến bức tường trái (trục $Ox$ ) là 1,6m $\Rightarrow y_A=1,6$ .
- Khoảng cách đến trần nhà (mặt phẳng $Oxy$ ) là 0,5m $\Rightarrow z_A=-0,5$ (do đèn treo phía dưới trần).
- Vậy, tọa độ của bóng đèn lúc đầu là $A(1,2;1,6;-0,5).$
Tọa độ bóng đèn lúc sau (điểm B):
- Khoảng cách đến cả hai tường đều là 1,5m $\Rightarrow x_B=1,5$ và $y_B=1,5$ .
- Khoảng cách đến trần nhà là 0,4m $\Rightarrow z_B=-0,4.$
- Vậy, tọa độ của bóng đèn lúc sau là $B(1,5;1,5;-0,4).$

b) Tính khoảng cách giữa hai vị trí

Khoảng cách giữa vị trí mới và vị trí ban đầu của bóng đèn chính là độ dài đoạn thẳng AB.

Áp dụng công thức tính khoảng cách:

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

$AB=\sqrt{(1,5-1,2)^2+(1,5-1,6)^2+(-0,4-(-0,5))^2}$

$AB=\sqrt{(0,3)^2+(-0,1)^2+(0,1)^2}$

$AB=\sqrt{0,09+0,01+0,01}$

$AB=\sqrt{0,11}\approx 0,3316\:(m)$

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được: $AB\approx 0,3\:(m)$

Vậy, vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu khoảng 0,3m.

Bài giải này đã giúp các em củng cố kiến thức về cách thiết lập hệ tọa độ và tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Đây là một ứng dụng quan trọng của hình học tọa độ vào các bài toán thực tế. Chúc các em học tốt!

» Xem thêm giải Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức SGK

Bài 2.34 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}$ = (-2; 2; 2), $\overrightarrow{b}$ = (1; -1; -2). Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng:...