Bài 1.21 trang 32 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = -x³ + 3x + 1

b) y = x³ + 3x² - x - 1

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số.

2. Xét sự biến thiên:

   • Tính đạo hàm y′.

   • Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình y′=0.

   • Xét dấu của y′ để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến.

   • Tính giới hạn của hàm số tại vô cực.

   • Lập bảng biến thiên.

3. Vẽ đồ thị:

   • Xác định các điểm đặc biệt như điểm cực trị, giao điểm với các trục tọa độ.

   • Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị một cách chính xác.

Lời giải chi tiết:

a) y = -x³ + 3x + 1

• TXĐ: D = R

• Sự biến thiên:

y' = -3x² + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1

Trên khoảng (-1; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, giá trị cực tiểu y_CT = -1

• Giới hạn tại vô cực

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

b) y = x³ + 3x² - x - 1

• TXĐ: D = R

• Sự biến thiên:

y' = 3x² + 6x - 1 = 0 ⇔  hoặc 

Trên khoảng , y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng  và  , y' > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại

Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu 

• Giới hạn tại vô cực

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị: