Bài 1.23 trang 32 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

18:51:25Cập nhật: 25/09/2025

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 1.23 trang 32 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1. Bài toán này giúp chúng ta ôn tập một kỹ năng cơ bản và quan trọng nhất của chương trình Toán 12: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất.

Đề bài:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ , ta thực hiện các bước sau:

Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số.
Xét sự biến thiên:
- Tính đạo hàm y'.
- Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình y' = 0.
- Xét dấu của y' để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến.
- Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên bằng cách xét giới hạn hoặc chia đa thức.
- Lập bảng biến thiên.
Vẽ đồ thị:
- Tìm các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Vẽ các đường tiệm cận và các giao điểm.
- Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị một cách chính xác.

Lời giải chi tiết:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$

• Tập xác định: D = R\{1}

• Sự biến thiên:

$y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}=2x+1+\frac{5}{x-1}$

$y'=2-\frac{5}{(x-1)^2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ hoặc $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$

Trong khoảng $\left ( -\infty ;\frac{2-\sqrt{10}}{2} \right )$ và $\left ( \frac{2+\sqrt{10}}{2};+\infty \right )$ , y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng $\dpi{100} \left ( \frac{2-\sqrt{10}}{2} ;1 \right )$ và $\left (1; \frac{2+\sqrt{10}}{2}\right )$ , y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ giá trị cực đại $y_{CD}=-2\sqrt{10}+3$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$ giá trị cực tiểu $y_{CT}=2\sqrt{10}+3$

• Tiệm cận:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow 1^- }y=\lim_{x\rightarrow 1^- }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow 1^+ }y=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty$

Nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x\rightarrow -\infty }[y-(2x+1)]=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [2x+1+\frac{5}{x-1}-(2x+1) \right ]$ $= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{5}{x-1}=0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }[y-(2x+1)]=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [2x+1+\frac{5}{x-1}-(2x+1) \right ]$ $= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{5}{x-1}=0$

Nên y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

BBT câu a bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

• Đồ thị

Đồ thị câu a bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -4).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$

• Tập xác định: D = R\{-3}

• Sự biến thiên:

$y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}=x-1+\frac{4}{x+3}$

$y'=1-\frac{4}{(x+3)^2}=0$ ⇔ x = -1 hoặc x = -5

Trong khoảng (-∞; - 5) và (-1; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng (-5; -3) và (-3; -1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = -5 giá trị cực đại y_CĐ = -8

Hàm số đạt cực tiểu tại x= -1 giá trị cực tiểu y_CT = 0

• Tiệm cận:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -3^- }y=\lim_{x\rightarrow -3^- }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow -3^+ }y=\lim_{x\rightarrow -3^+ }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty$

Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x\rightarrow -\infty }[y-(x-1)]=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [x-1+\frac{4}{x+1}-(x-1) \right ]$ $= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{4}{x+3}=0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }[y-(x-1)]=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [x-1+\frac{4}{x+1}-(x-1) \right ]$ $= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4}{x+3}=0$

Nên y = x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

BBT câu b bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

• Đồ thị

Đồ thị câu b bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Giao điểmcủa đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1/3)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (-1; 0)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-3; -4) ủa hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện kỹ năng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất. Việc xác định chính xác các yếu tố như tập xác định, đạo hàm, tiệm cận và các điểm đặc biệt là chìa khóa để vẽ đồ thị chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = -x³ + 3x + 1...

Bài 1.22 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = (2x + 1)/(x + 1)...

Bài 1.24 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Một cốc chứa 30ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100mg/ml. Một bình chứa...

Bài 1.25 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R₁ và R₂ thì điện trở tương đương R của mạch...