Bài 9.13 trang 69 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.13 Trang 69 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC

Phân tích và Phương pháp giải

Kiến thức cần nhớ

• Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

• Công thức chu vi: Chu vi tam giác $ABC$ là $P = AB + AC + BC$.

• Nửa chu vi: $p = \frac{AB + AC + BC}{2}$.

Chiến lược chứng minh

Để xuất hiện các cạnh của tam giác $ABC$ và đoạn $AD$, chúng ta sẽ tách tam giác $ABC$ thành hai tam giác nhỏ $ABD$ và $ACD$ có chung cạnh $AD$. Sau đó, áp dụng bất đẳng thức tam giác cho từng tam giác nhỏ và cộng các kết quả lại.

Giải bài 9.13 Trang 69 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Ta có hình minh họa như sau:

Trong tam giác ABD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AD > AB + BD (1)

Trong tam giác ACD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AD > AC + CD (2)

Từ (1) và (2) ta có:

AD + AD > AB + BD + AC + CD

Do đó 2AD > AB + AC + (BD + CD)

Hay 2AD > AB + AC + BC

⇒ AD > ½(AB + AC + BC).

Mà chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC.

Nên AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.

Tổng kết: Khi giải bài 9.13 trang 69 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức các em cần lưu ý:

• Lưu ý quan trọng: Một lỗi phổ biến khi trình bày là viết nhầm dấu "$>$" thay vì "$<$". Hãy nhớ rằng cạnh đơn lẻ luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.

• Tính chất mở rộng: Bài toán này đúng với mọi điểm $D$ nằm trên cạnh $BC$. Thậm chí, nếu $AD$ là đường trung tuyến, đường cao hay đường phân giác, tính chất này vẫn luôn được bảo toàn.

• Kỹ thuật cộng bất đẳng thức: Đây là một kỹ thuật mạnh mẽ trong hình học lớp 7 giúp liên kết các đoạn thẳng rời rạc thành một đại lượng tổng thể như chu vi.