Bài 7.33 trang 54 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Tìm tham số m để hai đường thẳng song song, cắt nhau

Bài 7.33 trang 54 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số bậc nhất y = mx – 5 và y = (2m + 1)x + 3. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau.

b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán chứa tham số $m$, chúng ta cần thực hiện các bước tư duy sau:

1. Điều kiện để là hàm số bậc nhất: Đây là bước cực kỳ quan trọng mà học sinh thường bỏ sót. Hệ số $a$ của cả hai hàm số đều phải khác $0$.

2. Điều kiện song song: Hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$ song song khi $a = a'$ và $b \neq b'$.

3. Điều kiện cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau khi $a \neq a'$.

Giải Bài 7.33 trang 54 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tìm điều kiện để các hàm số là hàm số bậc nhất

• Hàm số $y = mx – 5$ là hàm số bậc nhất khi $m \neq 0$.

• Hàm số $y = (2m + 1)x + 3$ là hàm số bậc nhất khi $2m + 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq -1/2$.

• Điều kiện xác định chung: $m \neq 0$ và $m \neq -1/2$.

a) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau

Hai đường thẳng song song khi có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau.

Ta thấy $b = -5$ và $b' = 3$, hiển nhiên $-5 \neq 3$.

Vậy hai đường thẳng song song khi:

Đối chiếu điều kiện: $m = -1$ thỏa mãn $m \neq 0$ và $m \neq -1/2$.

Kết luận: Với $m = -1$ thì đồ thị hai hàm số song song.

b) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng cắt nhau khi có hệ số góc khác nhau:

Đối chiếu điều kiện: Kết hợp với điều kiện xác định ở bước 1.

Kết luận: Với $m \neq -1, m \neq 0$ và $m \neq -1/2$ thì đồ thị hai hàm số cắt nhau.

Tổng kết kiến thức

• Quy tắc so sánh: Luôn so sánh hệ số $a$ trước. Nếu $a = a'$, tiếp tục xét đến $b$. Nếu $a \neq a'$, hai đường thẳng chắc chắn cắt nhau.

• Tầm quan trọng của điều kiện: Trong toán học có tham số, nếu không đặt điều kiện cho hệ số $a \neq 0$, bạn có thể bị trừ điểm hoặc lấy nhầm nghiệm ngoại lai.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên điều kiện hàm số bậc nhất: Nhiều bạn chỉ giải $m = -1$ mà không kiểm tra xem tại $m = -1$ thì các hàm số có còn là bậc nhất không (trong bài này vẫn thỏa mãn, nhưng một số bài khác có thể gây sai sót).

• Sai dấu khi giải phương trình: Khi chuyển vế $2m$ sang vế trái, học sinh hay nhầm dấu dẫn đến kết quả $m = 1$.

• Thiếu giá trị loại trừ ở câu b: Ở câu b, thường các bạn chỉ ghi $m \neq -1$ mà quên mất phải loại trừ cả $m = 0$ và $m = -1/2$ từ điều kiện ban đầu.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán trắc nghiệm:

1. Thử giá trị: Nếu đề bài cho các phương án $m$, hãy thay thử $m = -1$ vào hai hàm số. Bạn sẽ được $y = -x - 5$ và $y = -x + 3$. Hai đường thẳng này rõ ràng song song vì cùng hệ số góc $-1$.

2. Loại trừ: Nhìn nhanh hệ số $b$. Vì $-5 \neq 3$ nên hai đường thẳng này không bao giờ trùng nhau, chỉ có thể song song hoặc cắt nhau.