Bài 7.24 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.24 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Giải bài 7.24 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Xét ΔADB có AD = BD = a nên tam giác ADB cân tại D.

Vì M là trung điểm của AB nên DM là trung tuyến.

Vì tam giác ADB cân tại D, DM là trung tuyến nên DM đồng thời là đường cao hay DM ⊥ AB.

Xét tam giác ABC có AC = BC = a nên tam giác ABC cân tại C mà CM là trung tuyến nên CM là đường cao hay CM ⊥ AB.

Vì DM ⊥ AB và CM ⊥ AB nên AB ⊥ (DCM), suy ra AB ⊥ MN.

Xét tam giác ADC có AD = AC = a nên tam giác ACD cân tại A mà AN là trung tuyến nên AN đồng thời là đường cao hay AN ⊥ CD.

Xét tam giác BCD có BD = BC = a nên tam giác BCD cân tại B mà BN là trung tuyến nên BN đồng thời là đường cao hay BN ⊥ CD.

Vì AN ⊥ CD và BN ⊥ CD nên CD ⊥ (ABN),

⇒ CD ⊥  MN.

Vì AB ⊥ MN và CD ⊥ MN nên MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Vì AB ⊥ (DCM) nên AB ⊥ CD..

Gọi E là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A mà AE là trung tuyến nên AE đồng thời là đường cao hay AE ⊥ BC.

Xét tam giác BDC có BD = CD = a nên tam giác BCD cân tại D mà DE là trung tuyến nên DE đồng thời là đường cao hay DE ⊥ BC.

Có AE ⊥ BC và DE ⊥ BC nên BC ⊥ (ADE),

⇒ BC ⊥ AD.

Gọi F là trung điểm của BD.

Xét tam giác ADB có AB = AD = a nên tam giác ADB cân tại A mà AF là trung tuyến nên AF đồng thời là đường cao hay AF ⊥ BD.

Xét tam giác BCD có BC = CD = a nên tam giác BCD cân tại C mà CF là trung tuyến nên CF đồng thời là đường cao hay CF ⊥ BD.

Vì AF ⊥ BD và CF ⊥ BD nên BD ⊥ (ACF),

⇒ BD ⊥  AC.