Bài 7.23 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.23 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AA' = a, AB = b, BC = c.

a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.

Giải bài 7.23 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Kẻ CH ⊥ BD tại H.

Vì BB' ⊥ (ABCD) nên BB' ⊥ CH

Mà CH ⊥ BD nên CH ⊥ (BB'D'D).

Vì BB'C'C là hình chữ nhật nên BB' // CC' nên CC' // (BB'D'D).

Khi đó d(CC', (BB'D'D)) = d(C, (BB'D'D)) = CH.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = b; AD = BC = c.

Xét tam giác BCD vuông tại C, CH là đường cao nên:

Vậy d(CC', (BB'D'D)) 

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của A'C' và B'D'.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC, BD và A'B'C'D' là hình chữ nhật nên O' là trung điểm của A'C' và B'D'.

Có AA' // CC' và AA' = CC' (do chúng cùng song song và bằng BB’) nên AA'C'C là hình bình hành mà AA' ⊥ (ABCD) nên AA' ⊥ AC.

⇒ AA'C'C là hình chữ nhật.

Vì AA'C'C là hình chữ nhật và O là trung điểm của AC, O' là trung điểm của A'C' nên OO' ⊥ AC và OO' = AA' = a.

Có BB' // DD' và BB' = DD' (do chúng cùng song song và bằng AA') nên BB'D'D là hình bình hành mà BB' ⊥ (ABCD) nên BB' ⊥ BD.

⇒ BB'D'D là hình chữ nhật.

Vì BB'D'D là hình chữ nhật và O là trung điểm của BD, O' là trung điểm của B'D' nên OO'  ⊥ B'D'.

Vì OO' ⊥ AC và OO' ⊥ B'D' nên OO' là đường vuông góc chung của AC và B'D'.

Khi đó d(AC, B'D') = OO' = a.