Giải bài 3.28 trang 66 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Xét một điểm M trên cạnh huyền của tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB và AC.

a) Hỏi tứ giác MPAN là hình gì?

b) Hỏi M ở vị trí nào thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất? Vì sao?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức sau:

1. Định nghĩa hình chữ nhật: Tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật.

2. Định nghĩa hình chiếu vuông góc: Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng là chân đường vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng.

3. Tính chất của hình chữ nhật: Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau.

4. Khoảng cách ngắn nhất: Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng.

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để chứng minh và giải thích từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Hỏi tứ giác MPAN là hình gì?

Tứ giác MPAN có: 

Vậy tức giác MPAN có 4 góc vuông là:

⇒ Tứ giác MPAN là hình chữ nhật.

b) Hỏi M ở vị trí nào thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất? Vì sao?

Vì tứ giác MPAN là hình chữ nhật có hai đường chéo AM và NP nên AM = NP.

Để đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất thì AM có độ dài ngắn nhất.

Khi đó, AM là đường vuông góc kẻ từ A đến đoạn thẳng BC hay AM là đường cao của ΔABC.

Mà ΔABC vuông cân tại A nên AM cũng là đường trung tuyến.

⇒ M là trung điểm của BC.

Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng BC thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất.