Bài 2.28 trang 73 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng của  bằng

A. a²/4        B. a²/2

C. a³/3        D. a²

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vector:

1. Phân tích các vector: Biểu diễn các vector $\vec{AB}$ và $\vec{AM}$ theo các vector cạnh của tứ diện.

2. Sử dụng tính chất: Áp dụng quy tắc ba điểm và tính chất của tích vô hướng để tính toán.

   • $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD})$ (công thức trung điểm).

   • $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\vec{AB}, \vec{AC}) = a^2 \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$.

   • Tương tự, $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \frac{a^2}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Đáp án: B

Ta có hình sau:

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng CD nên 

Khi đó:  

Có: 

Nên: