Bài 2.26 Trang 42 SGK Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức: Giải phương trình đưa về dạng tích

Bài 2.26 (Trang 42 Toán 9 Tập 1 - Kết nối tri thức):

Giải các phương trình sau:

a) $(3x - 1)^2 - (x + 2)^2 = 0$;

b) $x(x + 1) = 2(x^2 - 1)$.

Phân tích nhanh

Để giải các phương trình bậc hai hoặc bậc cao mà chưa có công thức nghiệm tổng quát, phương pháp tối ưu nhất là đưa về phương trình tích.

• Ở câu a: Chúng ta nhận thấy dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

• Ở câu b: Chúng ta cần chuyển vế và phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết bài 2.26 trang 42 Toán 9

a) $(3x - 1)^2 - (x + 2)^2 = 0$

Sử dụng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, ta có:

Trường hợp 1: $2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 3/2$.

Trường hợp 2: $4x + 1 = 0 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -1/4$.

Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \{3/2; -1/4\}$.

b) $x(x + 1) = 2(x^2 - 1)$

Chuyển các hạng tử về cùng một vế:

Phân tích $x^2 - 1$ thành $(x - 1)(x + 1)$, ta được:

Đặt nhân tử chung là $(x + 1)$:

Trường hợp 1: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Trường hợp 2: $-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \{-1; 2\}$.

Tổng kết kiến thức

• Phương trình tích: Có dạng $A(x) \cdot B(x) = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$.

• Hằng đẳng thức đáng nhớ: * $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$

• Kỹ năng: Luôn quan sát để tìm nhân tử chung trước khi nhân phá ngoặc, điều này giúp phương trình đơn giản hơn nhiều.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Sai dấu khi phá ngoặc: Ở câu a, khi tính $(3x - 1) - (x + 2)$, học sinh thường quên đổi dấu thành $-x - 2$, dẫn đến kết quả sai.

• Chia cả hai vế cho biểu thức chứa ẩn: Ở câu b, một số bạn thấy cả hai vế có $(x + 1)$ nên chia thẳng cho $(x + 1)$. Điều này làm mất nghiệm $x = -1$. Chỉ được chia khi biết chắc chắn biểu thức đó khác $0$.

• Không chuyển hết về một vế: Để giải phương trình tích, bắt buộc một vế phải bằng $0$.

Mẹo giải nhanh

1. Nhận diện hằng đẳng thức: Nếu thấy dạng bình phương trừ bình phương, hãy dùng ngay hiệu hai bình phương thay vì khai triển $x^2$ sẽ rất phức tạp.

2. Kiểm tra nghiệm: Sau khi tính xong, hãy thay ngược $x$ vào phương trình ban đầu. Nếu hai vế bằng nhau, bạn đã làm đúng!