Giải bài 2.20 trang 41 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Chứng minh rằng a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b).

Áp dụng, tính a³ + b³ biết a + b = 4 và ab = 3.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh đẳng thức, ta sẽ bắt đầu từ vế phải (a+b)³ - 3ab(a+b) và biến đổi nó sao cho trở thành vế trái a³ + b³.

1. Sử dụng hằng đẳng thức: Khaitriển (a+b)³ bằng công thức lập phương của một tổng: (A+B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

2. Rút gọn: Nhóm các số hạng để đơn giản hóa biểu thức.

3. Áp dụng: Sau khi chứng minh được công thức, ta chỉ cần thay các giá trị đã cho của a+b và ab vào công thức để tính giá trị của a³ + b³.

Lời giải chi tiết:

Ta có: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

= a³ + 3ab(a + b) + b³

Như vậy: a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b).

Áp dụng:

Với a + b = 4 và ab = 3, ta được:

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

= 4³ – 3.3.4

= 64 – 36

= 28.