Giải bài 1.19 trang 20 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và phần giải thích rõ ràng giúp các em nắm vững phương pháp làm dạng toán này.

I. Đề bài tập 1.19 (SGK Toán 10 - Trang 20)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

• A. $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 1 \Rightarrow x > -1$.

• B. $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 1 \Rightarrow x > 1$.

• C. $\forall x \in \mathbb{R}, x > -1 \Rightarrow x^2 > 1$.

• D. $\forall x \in \mathbb{R}, x > 1 \Rightarrow x^2 > 1$.

II. Lời giải chi tiết và biện luận tính đúng sai

Đáp án chính xác: D. $\forall x \in \mathbb{R}, x > 1 \Rightarrow x^2 > 1$.

Phương pháp loại trừ và chứng minh:

Để xét tính đúng sai của mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ chứa biến với ký hiệu $\forall$, mệnh đề chỉ đúng khi nó đúng với mọi số thực $x$. Ngược lại, nếu chúng ta tìm được chỉ một giá trị $x$ làm cho vế trước đúng mà vế sau sai (gọi là phản ví dụ), mệnh đề đó sẽ sai.

• Xét điều kiện cốt lõi:

  Ta có bất phương trình bậc hai:

  $$x^2 > 1 \Leftrightarrow |x| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x < -1 \\ x > 1 \end{matrix} \right.$$

• Phân tích Mệnh đề A và Mệnh đề B:

  • Từ điều kiện trên, nếu $x^2 > 1$ thì $x$ có thể nhỏ hơn $-1$ (chẳng hạn chọn phản ví dụ $x = -2$).

  • Với $x = -2$, ta thấy $x^2 = (-2)^2 = 4 > 1$ (đúng), nhưng $x = -2 < -1$ (mệnh đề A và B khẳng định vế sau lớn hơn $-1$ và lớn hơn $1$ là sai).

• Phân tích Mệnh đề C:

  • Mệnh đề khẳng định: Nếu $x > -1$ thì chắc chắn $x^2 > 1$.

  • Ta tìm phản ví dụ: Chọn số thực $x = 0$.

  • Rõ ràng $x = 0 > -1$ (vế trước đúng), nhưng khi bình phương lên ta có $x^2 = 0^2 = 0 < 1$ (vế sau sai).

  • Do tồn tại một số thực $x$ lớn hơn $-1$ nhưng $x^2$ không lớn hơn $1$ nên mệnh đề C sai.

• Phân tích Mệnh đề D:

  • Với mọi số thực $x > 1$, khi ta nhân cả hai vế với số dương $x$, bất đẳng thức không đổi chiều: $x \cdot x > 1 \cdot x \Rightarrow x^2 > x$.

  • Mà theo giả thiết $x > 1$, do đó theo tính chất bắc cầu ta luôn có: $x^2 > 1$.

  • Mệnh đề này hoàn toàn đúng với mọi số thực $x$.

III. Kết luận kiến thức cần nhớ

Khi giải các bài tập trắc nghiệm về mệnh đề chứa biến $\forall x \in \mathbb{R}$ dạng kéo theo, các em cần lưu ý:

1. Mệnh đề đúng: Phải chứng minh được bằng lập luận toán học luôn đúng với mọi trường hợp.

2. Mệnh đề sai: Cách nhanh nhất là chỉ ra một phản ví dụ cụ thể (một giá trị của $x$ làm vế đầu đúng nhưng vế sau sai).