Giải bài 5 trang 70 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bà:

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau: Bắt đầu bằng một hình vuông H₀ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a).

Chia hình vuông H₀ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₁ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H₁ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₂ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình H_n (n=1,2,3,...)

Ta có: H₁ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 

H₂ có 5.5=5² hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng

Từ đó, nhận được H_n có 5ⁿ hình vuông, mỗi hình có cạnh bằng 

a) Tính diện tích S_n của H_n và tính limS_n

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán mô tả một quá trình lặp đi lặp lại để tạo ra một dãy hình Hn​ từ một hình vuông ban đầu. Chúng ta cần tính diện tích và chu vi của các hình này, sau đó tìm giới hạn của chúng.

• Dãy diện tích (S_n​):

  • Hình vuông ban đầu (H₀​) có diện tích là S₀​=1²=1.

  • Mỗi bước, hình được chia thành 9 hình vuông nhỏ hơn và bỏ đi 4 hình. Vậy, diện tích còn lại bằng 1−4​/9=5/9​ diện tích ban đầu.

  • Do đó, dãy diện tích Sn​ là một cấp số nhân lùi vô hạn.

• Dãy chu vi (p_n​):

  • Chu vi của hình H0​ là p₀​=4×1=4.

  • Chu vi của hình H₁​ bao gồm các cạnh của 5 hình vuông nhỏ. Mỗi hình vuông nhỏ có cạnh bằng 1/3​ cạnh ban đầu.

  • Ta sẽ tính chu vi của các hình H_n​ bằng cách phân tích cấu trúc của chúng.

Lời giải chi tiết:

a) Tính diện tích S_n của H_n và tính limS_n

Công thức diện tích:

Nên có:

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n

Công thức chu vi:

Nên có: