Hotline0936685849

Giải bài 5 trang 70 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

15:23:30Cập nhật: 03/10/2025

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 5 trang 70 SGK Toán 11 thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo tập 1. Đây là một bài toán hình học và giới hạn rất thú vị, giúp chúng ta khám phá một khái niệm toán học bất ngờ: một hình có thể có chu vi vô cực nhưng diện tích bằng 0.

Đề bà:

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau: Bắt đầu bằng một hình vuông H₀ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a).

Chia hình vuông H₀ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₁ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H₁ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₂ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình H_n (n=1,2,3,...)

Bài 5 trang 70 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Ta có: H₁ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\small \frac{1}{3}$

H₂ có 5.5=5² hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\dpi{100} \small \frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{3^2};...$

Từ đó, nhận được H_n có 5ⁿ hình vuông, mỗi hình có cạnh bằng $\small \frac{1}{3^n}$

a) Tính diện tích S_n của H_n và tính limS_n

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán mô tả một quá trình lặp đi lặp lại để tạo ra một dãy hình $H_{n}$ từ một hình vuông ban đầu. Chúng ta cần tính diện tích và chu vi của các hình này, sau đó tìm giới hạn của chúng.

Dãy diện tích ( $S_{n}$ ):
- Hình vuông ban đầu ( $H_{0}$ ) có diện tích là $S_{0} = 1^{2} = 1$ .
- Mỗi bước, hình được chia thành 9 hình vuông nhỏ hơn và bỏ đi 4 hình. Vậy, diện tích còn lại bằng $1 - 4 =5/ 9$ diện tích ban đầu.
- Do đó, dãy diện tích $S_{n}$ là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Dãy chu vi ( $p_{n}$ ):
- Chu vi của hình $H_{0}$ là $p_{0} = 4 \times 1 = 4$ .
- Chu vi của hình $H_{1}$ bao gồm các cạnh của 5 hình vuông nhỏ. Mỗi hình vuông nhỏ có cạnh bằng 1/ $3$ cạnh ban đầu.
- Ta sẽ tính chu vi của các hình $H_{n}$ bằng cách phân tích cấu trúc của chúng.

Lời giải chi tiết:

a) Tính diện tích S_n của H_n và tính limS_n

Công thức diện tích:

$\small \dpi{100} \small S_n=5^n.\left (\frac{1}{3^n} \right )^2=\frac{5^n}{9^n}=\left ( \frac{5}{9} \right )^n$

Nên có:

$\small limS_n=lim\left (\frac{5}{9} \right )^n=0$

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n

Công thức chu vi:

$\dpi{300} \small \dpi{100} \small p_n=5^n.4.\frac{1}{3^n} =4\frac{5^n}{3^n}=4.\left ( \frac{5}{3} \right )^n$

Nên có:

$\dpi{100} \small limp_n=lim4.\left (\frac{5}{3} \right )^n=+\infty$

Qua bài tập này, các em đã khám phá một nghịch lý thú vị: một hình có thể có diện tích bằng 0 nhưng chu vi lại là vô cực. Điều này cho thấy sự kỳ diệu của các quá trình vô hạn trong toán học. Việc nắm vững các công thức của cấp số nhân và cách tính giới hạn là chìa khóa để giải quyết các bài toán dạng này một cách chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 69 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Tìm các giới hạn sau:...

Bài 2 trang 69 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:...

Bài 3 trang 69 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444... dưới dạng một phân số.

Bài 4 trang 70 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm...