Giải bài 4 trang 70 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5)

a) Kí hiệu a_n là diện tích của hình vuông thứ n và S_n là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a_n, S_n (n=1,2,3,...) là tìm limS_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu p_n là chu vi của hình vuông thứ n và Q_n là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính pn là Q_n (n=1,2,3,...) và tìm limQ_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho một dãy các hình vuông được tạo thành bằng cách nối các trung điểm của cạnh. Chúng ta cần tìm công thức diện tích và chu vi của các hình vuông này, sau đó tính tổng và giới hạn của chúng.

• Dãy diện tích (a_n​):

  • Hình vuông đầu tiên có cạnh 1, diện tích là a₁​=1²=1.

  • Hình vuông thứ hai nối các trung điểm của hình vuông đầu tiên. Diện tích hình vuông thứ hai bằng một nửa diện tích hình vuông thứ nhất.

  • Dãy diện tích sẽ là một cấp số nhân lùi vô hạn.

• Dãy chu vi (p_n​):

  • Cạnh của hình vuông thứ hai bằng ​​ cạnh của hình vuông thứ nhất.

  • Dãy chu vi cũng sẽ là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta sẽ sử dụng các công thức của cấp số nhân để giải quyết bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Ta thấy:

Diện tích của hình vuông thứ 2 bằng 1/2 diện tích hình vuông thứ 1

Diện tích hình vuông thứ 3 bằng 1/2 diện tích hình vuông thứ 2

...

Như vậy, công thức tính diện tích của hình vuông thứ n là:

Khi đó, tổng diện tích của các hình vuông là:

b) Ta thấy:

Cạnh của hình vuông thứ 2 có độ dài

Cạnh của hình vuông thứ 3 có độ dài 

...

Như vậy, công thức chu vi của hình vuông thứ n là:

Khi đó, tổng chu vi của các hình vuông là: