Giải bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1:

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO'. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O'; r) theo thứ tự C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.

Giải bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Chứng minh rằng AC = AD.

Vẽ OM ⊥ AC tại M, O’N ⊥ AD tại N

• Xét đường tròn (O), có:

OM ⊥ AC ⇒ MA = MC = AC/2 (định lý đường kính vuông góc với dây)

• Xét đường tròn (O'), có:

O'N ⊥ AD ⇒ NA = ND = AD/2 (định lý đường kính vuông góc với dây)

Mặt khác, ta có OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O'N ⊥ CD

⇒ OM // IA // O'N

Nên tứ giác OMNO' là hình thang.

• Xét hình thang OMNO', có:

IA // OM // O’N

IO = IO’ (I là trung điểm của OO’)

⇒ MA = NA (do đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và đi qua trung điểm 1 cạnh bên thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại)

⇒ 2MA = 2NA ⇒ AC = AD.

b) Chứng minh rằng KB vuông góc với AB

Ta có (O) và (O’) cắt nhau tại A, B

Vì vậy, OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau)

⇒ IA = IB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Mặt khác IA = IK (vì K đối xứng với A qua I)

⇒ IA = IB = IK = AK/2

Xét ΔKBA, có BI là đường trung tuyến và BI = AK/2

Nên ΔKBA vuông tại B

⇒ KB ⊥ AB (đpcm).