Giải bài 4 trang 65 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích S_n của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Xác định quy luật diện tích: Diện tích của hình vuông mới bằng một nửa diện tích của hình vuông ban đầu (vì hình vuông mới được tạo thành từ 4 tam giác vuông cân bằng nhau, tổng diện tích của 4 tam giác này bằng diện tích hình vuông lớn, và hình vuông nhỏ bằng diện tích của 2 tam giác đó, tức là $1/2$ diện tích hình vuông lớn).

2. Mô hình hóa: Dãy diện tích $\left(S_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q = \frac{1}{2}$.

3. Công thức $S_n$: Áp dụng công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.

4. Tổng diện tích: Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{u_1}{1 - q}$.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi S_n là diện tích của hình vuông thứ n.

Ta có: S₁ = 1; S₂ = 1/2; S₃ = (1/2)²;...

Dãy (S_n) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu S₁ = 1 và công bội q = 1/2 có công thức tổng quát là:

b) Ta có: nên dãy (S_n­) trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có:

Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).