Giải bài 2.19 trang 41 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Rút gọn các biểu thức:

a) (x – 2)³ + (x + 2)³ – 6x(x + 2)(x – 2);

b) (2x – y)³ + (2x + y)³.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để rút gọn các biểu thức đã cho, các em sẽ sử dụng kết hợp các hằng đẳng thức sau:

• Lập phương của một tổng: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

• Lập phương của một hiệu: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

• Hiệu hai lập phương: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$

• Tổng hai lập phương: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$

• Hiệu hai bình phương: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức này sẽ giúp các em đơn giản hóa biểu thức và tìm ra kết quả cuối cùng.

Lời giải chi tiết:

a) (x – 2)³ + (x + 2)³ – 6x(x + 2)(x – 2)

= [(x – 2) + (x + 2)] . [(x – 2)² – (x – 2).(x + 2) + (x + 2)²] – 6x(x² – 4)

= (x – 2 + x + 2).[x² – 4x + 4 – (x² – 4) + x² + 4x + 4] – 6x(x² – 4)

= 2x.(2x² + 8 – x² + 4) – 6x(x² – 4)

= 2x(x² + 12) – 6x(x² – 4)

= 2x³ + 24x – 6x³ + 24x

= –4x³ + 48x.

b) (2x – y)³ + (2x + y)³

= (2x)³ – 3.(2x)².y + 3.2x.y² – y³ + (2x)³ + 3.(2x)².y + 3.2x.y² + y³

= (2x)³ + 3.2x.y² + (2x)³ + 3.2x.y²

= 8x³ + 6xy² + 8x³ + 6xy² 

= 16x³ + 12xy².