Hotline 0939 629 809

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12

08:47:1109/05/2019

Số phức và các dạng toán về số phức là một trong những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng và khá khó hiểu, một phần nguyên nhân là chúng ta đã quá quen với số thực trong những năm học trước.

Vì vậy, ở bài viết này HayHocHoi.Vn sẽ hệ thống lại các dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn cách giải các dạng bài tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài tập số phức, các bạn cũng cần nhớ các nội dung về lý thuyết số phức.

I. Lý thuyết về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập hợp số phức: 

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

2. Biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: , (được biểu diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi  trong mặt phẳng Oxy (mp phức).biểu diễn hình học của số phức

3. Phép cộng, trừ số phức

- Cho 2 số phức: , khi đó:

- Số đối của:  là 

- Nếu  biểu diễn z,  biểu diễn z' thì  biểu diễn  và  biểu diễn .

4. Phép nhân 2 số phức

- Cho 2 số phức: , khi đó:

 

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức  là 

♦ 

♦ z là số thực ⇔

♦ z là số thuần ảo: 

6. Phép chia số phức khác 0

♦ 

♦ 

♦ 

7. Mô-đun của số phức

- Cho số phức: , thì:

♦ 

♦ 

♦ 

♦ 

8. Căn bậc 2 của số phức

♦  là căn bậc 2 của số phức  

♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

♦ 2 căn bậc 2 của a < 0 là

9. Phương trình bậc 2 của số phức

- Cho phương trình bậc 2 số phức có dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức cho trước, A≠0).

- Khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

* Chú ý: Nếu  là 1 nghiệm của (*) thì  cũng là 1 nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

• φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• ,

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

- Cho z = r(cosφ + isinφ) và z' = r'(cosφ' + isinφ')

• 

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

• 

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• Cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

  và 

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có n căn bậc n là:

 

II. Các dạng toán về Số phức và cách giải

Dạng 1: Các phép tính về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi tính toán các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: Cho số phức  Tính các số phức sau: 

° Lời giải:

+) Ta có: 

 +) Ta có:  

 

 

+) Ta có: 1 + z + z2 

* Tương tự: Cho số phức  , hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có: 

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

  

c)  

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả , tính 

° Lời giải:

- Đặt 

- Từ giải thiết ta có: 

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép biến đổi để giải quyết bài toán.

° Ví dụ 1: Tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

  

b) 

 (*)

 mà 

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức cần tìm là 1 + i1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) , và z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

+) TH1:

+) TH2: 

 

 Dạng 3: Xác định phần thực phần ảo, tìm đối số, nghịch đảo module, liên hợp của số phức và biểu diễn hình học của số phức

* Phương pháp giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài toán liên quan tới tính chất của số phức.

♦ Loại 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)    

  

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ Loại 2: Biểu diễn hình học của số phức

- Cách giải: Sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?biểu diễn hình học của số phức° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có biểu diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:biểu diễn hình học của số phức° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ Loại 3: Tính Module của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: Tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- Có  = 1  - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn , tìm mô-đun của số phức 

° Lời giải:

- Ta có: 

 

 

♦ Loại 4: Tìm số đối của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

b) 

 

♦ Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

° Lời giải: 

- Ta có:  

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z và giải phương trình .

° Lời giải: 

- Ta có 

- Khi đó: 

- Giải hệ này ta được các nghiệm 

♦ Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo của số phức

- Cách giải: Sử dụng công thức: 

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

b) 

- Ta có: ,

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- Cách giải: Sử dụng công thức: 

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y sao cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

- Giải phương trình trên bằng cách đặt y = tx (x≠0) ta được 

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

♦ Loại 1: Số phức z thoả mãn về độ dài (module) khi đó ta sử dụng công thức 

♦ Loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta sử dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a < 0 và b = 0.

 - Để z là số thực dương ⇔ a > 0 và b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả

a)  có phần thực = 3

b)  là số thực

c) 

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

 

 Với 

- Theo bài ra,

 

- Với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

⇒ Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm  bán kính 

b) Gọi N là điểm biểu diễn số phức 

 là số thực ⇔  song song với Ox

- Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

c) Gọi I là điểm biểu diễn của số phức 

- Khi đó: 

- Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

° Lời giải: 

- Ta có:  

 hay   (1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

  

 

 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

b) 

° Lời giải: 

a) Ta có:

  

  

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

 

 

   (1)

- Mặt khác:

  

Vì  nên   (2)

- Từ (1) và (2) có VT=VP (đpcm)

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập về Số phức, cách giải và bài tập ở trên giúp ích cho các bạn. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các bạn học tập tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha