Hotline 0939 629 809

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12

08:47:1109/05/2019

Số phức và các dạng toán về số phức là một trong những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng và khá khó hiểu, một phần nguyên nhân là chúng ta đã quá quen với số thực trong những năm học trước.

Vì vậy, ở bài viết này HayHocHoi.Vn sẽ hệ thống lại các dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn cách giải các dạng bài tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài tập số phức, các bạn cũng cần nhớ các nội dung về lý thuyết số phức.

I. Lý thuyết về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập hợp số phức: 

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

2. Biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: , (được biểu diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi  trong mặt phẳng Oxy (mp phức).biểu diễn hình học của số phức

3. Phép cộng, trừ số phức

- Cho 2 số phức: , khi đó:

- Số đối của:  là 

- Nếu  biểu diễn z,  biểu diễn z' thì  biểu diễn  và  biểu diễn .

4. Phép nhân 2 số phức

- Cho 2 số phức: , khi đó:

 

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức  là 

♦ 

♦ z là số thực ⇔

♦ z là số thuần ảo: 

6. Phép chia số phức khác 0

♦ 

♦ 

♦ 

7. Mô-đun của số phức

- Cho số phức: , thì:

♦ 

♦ 

♦ 

♦ 

8. Căn bậc 2 của số phức

♦  là căn bậc 2 của số phức  

♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

♦ 2 căn bậc 2 của a < 0 là

9. Phương trình bậc 2 của số phức

- Cho phương trình bậc 2 số phức có dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức cho trước, A≠0).

- Khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

* Chú ý: Nếu  là 1 nghiệm của (*) thì  cũng là 1 nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

• φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• ,

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

- Cho z = r(cosφ + isinφ) và z' = r'(cosφ' + isinφ')

• 

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

• 

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• Cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

  và 

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có n căn bậc n là:

 

II. Các dạng toán về Số phức và cách giải

Dạng 1: Các phép tính về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi tính toán các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: Cho số phức  Tính các số phức sau: 

° Lời giải:

+) Ta có: 

 +) Ta có:  

 

 

+) Ta có: 1 + z + z2 

* Tương tự: Cho số phức  , hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có: 

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

  

c)  

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả , tính 

° Lời giải:

- Đặt 

- Từ giải thiết ta có: 

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép biến đổi để giải quyết bài toán.

° Ví dụ 1: Tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

  

b) 

 (*)

 mà 

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức cần tìm là 1 + i1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) , và z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

+) TH1:

+) TH2: 

 

 Dạng 3: Xác định phần thực phần ảo, tìm đối số, nghịch đảo module, liên hợp của số phức và biểu diễn hình học của số phức

* Phương pháp giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài toán liên quan tới tính chất của số phức.

♦ Loại 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)    

  

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ Loại 2: Biểu diễn hình học của số phức

- Cách giải: Sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?biểu diễn hình học của số phức° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có biểu diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:biểu diễn hình học của số phức° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ Loại 3: Tính Module của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: Tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- Có  = 1  - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn , tìm mô-đun của số phức 

° Lời giải:

- Ta có: 

 

 

♦ Loại 4: Tìm số đối của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

b) 

 

♦ Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

° Lời giải: 

- Ta có:  

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z và giải phương trình .

° Lời giải: 

- Ta có 

- Khi đó: 

- Giải hệ này ta được các nghiệm 

♦ Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo của số phức

- Cách giải: Sử dụng công thức: 

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

b) 

- Ta có: ,

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- Cách giải: Sử dụng công thức: 

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y sao cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

- Giải phương trình trên bằng cách đặt y = tx (x≠0) ta được 

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

♦ Loại 1: Số phức z thoả mãn về độ dài (module) khi đó ta sử dụng công thức 

♦ Loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta sử dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a < 0 và b = 0.

 - Để z là số thực dương ⇔ a > 0 và b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả

a)  có phần thực = 3

b)  là số thực

c) 

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

 

 Với 

- Theo bài ra,

 

- Với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

⇒ Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm  bán kính 

b) Gọi N là điểm biểu diễn số phức 

 là số thực ⇔  song song với Ox

- Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

c) Gọi I là điểm biểu diễn của số phức 

- Khi đó: 

- Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

° Lời giải: 

- Ta có:  

 hay   (1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

  

 

 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

b) 

° Lời giải: 

a) Ta có:

  

  

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

 

 

   (1)

- Mặt khác:

  

Vì  nên   (2)

- Từ (1) và (2) có VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2

* Phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z nếu w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi.

- Lưu ý:

♦ Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

 ◊ TH1: a < 0 ⇒ 

♦ Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức (x + yi)2 = a + bi, hay x2 - y2 + 2xyi = a + bi , giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình có dạng: az2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức a≠0

- Cách giải: Xét biệt thức .

 » Nếu Δ=0 phương trình có nghiệp kép: 

 » Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

- Định lý Vi-ét: Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có:  

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

b) 

c) Gọi  là căn bậc 2 của số phức , ta có:

  

    

 Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm .

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- Gọi m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài toán, ta có:  

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên: .

- Vậy ta có hệ: 

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình có 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có:   

⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ và đưa về phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

* Lời giải:

- Nhận thấy, z=0 không phải nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho z2, ta được: 

- Đặt , thi (*) trở thành: 

 

 hoặc 

- Với   

 hoặc

- Với   

  hoặc 

- Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm: 

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành: 

 

- Với 

- Với 

b) Nhận thấy z=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt cho z2 ta được:

 

 (*)

- Đặt , khi đó pt (*) trở thành:   hoặc 

- Với  và 

- Với  hoặc 

c) Đáp án: 

d) Đáp án: 

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* Phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.

- Công thức 1: 

- Công thức 2: 

- Số phức z=a+bi ta có: 

,

với  và góc φ được gọi là argument của z ký hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ thừa ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

b) 

c) 

* Lời giải:

a) Ta có:

  

- Vậy 

 

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

c) Ta có:

  

 

 

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: , tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

- Lại có:  và  

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm: 

- Mặt khác 

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

* Lời giải:

- Đặt  thì 

- Phương trình đã cho trở thành: 

  (*)

- Vì z=-1 không phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế  (*) với (z+1) ta được:

 

- Nên  vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đã cho có nghiệm:       với .

 Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức tìm cực trị

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn , tìm số phức z có modul nhỏ nhất.

* Lời giải:

- Đặt , khi đó 

. Vì vậy các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên đường tròn tâm I(4;-3) bán kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Khi đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn và 

- Kẻ MH⊥Ox, theo định lý Talet, ta có: 

- Lại có: 

⇒ Vậy số phức cần tìm là: 

° Ví dụ 2: Cho số phức z thoả mãn , tìm GTLN và GTNN của |z|.

* Lời giải:

Cách 1: Áp dụng bất đăng thức tam giác, ta có:

 

⇒ 

- Với 

- Với

♥ Cách 2: Đặt z=x+iy⇒ z-3+4i=(x-3)+(y+4)i

- Theo giả thiết ta có: 

  (*)

- Do  

- Nên từ (*) ta có: 

- Tương tự trên, ta có min|z|=1; max|z|=9.

° Ví dụ 3: Cho số phức 

a) Tìm m để 

b) Tìm GTNN của số thực k sao cho tồn tại m để |z-1|≤k.

* Đáp án: a) ;  b) 

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập về Số phức, cách giải và bài tập ở trên giúp ích cho các bạn. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các bạn học tập tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
nguyễn thanh tùng
cho em xin file ạ
Trả lời -
04/09/2019 - 15:53
...
Admin
Chào em, BQT sẽ cố gắng gửi em sớm nhé!
08/09/2019 - 09:05
captcha
...
dieu thu
hay quá
Trả lời -
11/06/2019 - 18:27
...
Admin
Chúc em học tập tốt và thành công, hãy thường xuyên ghé thăm website để có thêm thông tin hữu ích nha em.
12/06/2019 - 07:41
captcha
Xem thêm bình luận
2 trong số 2