Bài 9.4 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.4 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) (H.9.9).

Phân tích nhanh

• Câu a: Góc $AID$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn. Để tính góc này, ta sử dụng mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm, sau đó xét tổng các góc trong một tam giác.

• Câu b: Để chứng minh hệ thức $IA \cdot IB = IC \cdot ID$, phương pháp phổ biến nhất là chứng minh hai tam giác đồng dạng có chứa các đoạn thẳng này, từ đó lập tỉ số đồng dạng.

a) Biết rằng $\widehat{AOC}=60^o,\:\widehat{BOD}=80^o$ Tính số đo của góc AID.

b) Chứng minh rằng IA . IB = IC . ID.

Giải bài 9.4 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính số đo góc $AID$

Xét đường tròn $(O)$, ta có:

• $\widehat{BAD}$ và $\widehat{BOD}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ $BD$. Do đó:

  $$\widehat{BAD} = \frac{1}{2}\widehat{BOD} = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ \text{}$$

• $\widehat{ADC}$ và $\widehat{AOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ $AC$. Do đó:

  $$\widehat{ADC} = \frac{1}{2}\widehat{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \text{}$$

Xét $\Delta AID$ có:

Suy ra:

Vậy $\widehat{AID} = 110^\circ$.

b) Chứng minh $IA \cdot IB = IC \cdot ID$

Xét đường tròn $(O)$ có $\widehat{ADC}$ và $\widehat{ABC}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $AC$.

Do đó: $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$ hay $\widehat{ADI} = \widehat{CBI}$.

Xét $\Delta AID$ và $\Delta CIB$ có:

• $\widehat{AID} = \widehat{CIB}$ (hai góc đối đỉnh)

• $\widehat{ADI} = \widehat{CBI}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\Delta AID \sim \Delta CIB$ (g.g).

Từ đó ta có tỉ số đồng dạng:

Hay: $IA \cdot IB = IC \cdot ID$ (điều phải chứng minh).

Tổng kết

• Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

• Hai tam giác đồng dạng giúp chứng minh các hệ thức về độ dài đoạn thẳng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa góc nội tiếp và góc ở tâm: Học sinh đôi khi quên chia đôi số đo góc ở tâm khi tính góc nội tiếp.

• Xác định sai cặp tam giác đồng dạng: Khi lập tỉ số, cần chú ý thứ tự các đỉnh tương ứng của tam giác đồng dạng để không bị nhầm lẫn giữa các đoạn thẳng.

Mẹo giải nhanh

Đối với câu b, hệ thức $IA \cdot IB = IC \cdot ID$ là một tính chất rất quan trọng trong đường tròn (gọi là Phương tích của một điểm bên trong đường tròn).

• Để nhớ nhanh: Khi hai dây cung cắt nhau tại $I$, tích các đoạn thẳng trên dây thứ nhất luôn bằng tích các đoạn thẳng trên dây thứ hai: $IA \cdot IB = IC \cdot ID$. Bạn có thể áp dụng ngay để kiểm tra kết quả các bài toán trắc nghiệm!