Bài 8.4 trang 71 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Biến cố độc lập

Bài 8.4 trang 71 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:

A: “Bắt được con thỏ trắng từ chuồng I”;

B: “Bắt được con thỏ đen từ chuồng II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

Phân tích lý thuyết

Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Trong bài toán này, phép thử bao gồm hai hành động riêng biệt trên hai tập hợp (hai chuồng thỏ) khác nhau. Để chứng minh tính độc lập, ta sẽ xét xem xác suất của biến cố $B$ có thay đổi khi biết biến cố $A$ đã xảy ra hay chưa.

Giải bài 8.4 trang 71 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Để chứng minh $A$ và $B$ độc lập, ta xét các trường hợp sau:

1. Tính xác suất của biến cố B khi A xảy ra:

Nếu biến cố $A$ xảy ra, tức là ta bắt được một con thỏ trắng từ chuồng I. Vì việc bắt thỏ ở chuồng I hoàn toàn không làm thay đổi số lượng thỏ trong chuồng II, nên trong chuồng II vẫn có nguyên 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen (tổng 10 con).

Xác suất bắt được thỏ đen từ chuồng II lúc này là:

2. Tính xác suất của biến cố B khi A không xảy ra:

Nếu biến cố $A$ không xảy ra, tức là ta bắt được một con thỏ đen từ chuồng I. Tương tự như trên, số lượng thỏ trong chuồng II vẫn giữ nguyên là 10 con (3 trắng, 7 đen).

Xác suất bắt được thỏ đen từ chuồng II vẫn là:

3. Nhận xét:

Ta thấy xác suất của biến cố $B$ luôn bằng $0,7$ bất kể biến cố $A$ có xảy ra hay không.

Mặt khác, xét xác suất của biến cố $A$:

Chuồng I có tổng cộng $5 + 10 = 15$ con thỏ. Xác suất bắt được thỏ trắng từ chuồng I là:

Xác suất này cũng không hề bị ảnh hưởng bởi việc ta bắt được thỏ đen hay trắng ở chuồng II (biến cố $B$).

Kết luận: Vì xác suất của mỗi biến cố không phụ thuộc vào việc biến cố kia có xảy ra hay không, nên $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.

Tổng kết kiến thức

• Định nghĩa: Hai biến cố $A, B$ độc lập $\Leftrightarrow$ Việc $A$ xảy ra không đổi xác suất của $B$ và ngược lại.

• Dấu hiệu nhận biết: Các hành động thực hiện trên các đối tượng tách biệt (hai hộp khác nhau, hai lần gieo xúc xắc khác nhau...) thường dẫn đến các biến cố độc lập.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Nhầm lẫn giữa biến cố độc lập và biến cố xung khắc: Biến cố xung khắc là không thể cùng xảy ra ($A \cap B = \varnothing$), còn biến cố độc lập nói về sự không ảnh hưởng đến xác suất của nhau.

2. Tính toán sai tổng số thỏ: Cần cộng đúng số thỏ trắng và thỏ đen trong từng chuồng để làm mẫu số cho xác suất.

3. Lập luận thiếu chiều: Để đầy đủ, nên chỉ ra rằng $P(B)$ không đổi trong cả hai trường hợp của $A$.

Mẹo ghi nhớ nhanh

Hãy nhớ quy tắc: "Nhà ai nấy ở, việc ai nấy làm". Khi hai hành động xảy ra ở hai địa điểm độc lập (Chuồng I và Chuồng II) và không có sự di chuyển đối tượng giữa hai nơi, thì các biến cố liên quan đến chúng chắc chắn là độc lập.