Bài 7.40 trang 45 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: Bí quyết tính nhanh giá trị đa thức

Bài 7.40 Trang 45 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Trong một trò chơi ở câu lạc bộ Toán học, chủ trò viết lên bảng biểu thức:

P(x) = x²(7x - 5) - (28x⁵ - 20x⁴ - 12x³) : 4x².

Luật chơi là sau khi chủ trò đọc một số a nào đó, các đội chơi phải tính giá trị của P(x) tại x = a. Đội nào tính đúng và tính nhanh nhất thì thắng cuộc.

Khi chủ trò vừa đọc a = 5, Vuông đã tính ngay được P(a) = 15 và thắng cuộc. Em có biết Vuông làm cách nào không?

Phân tích "Chiến thuật" của Vuông

Thông thường, khi gặp bài toán tính giá trị, nhiều bạn sẽ thay trực tiếp $x = 5$ vào biểu thức ban đầu. Tuy nhiên, với biểu thức có lũy thừa bậc cao như $x^5$ hay $x^4$, việc tính toán thủ công sẽ rất chậm và dễ sai sót.

Vuông đã thắng cuộc nhờ thực hiện Rút gọn biểu thức $P(x)$ trước khi thay số. Khi biểu thức trở nên đơn giản, việc tính toán chỉ còn là nhẩm tính trong đầu.

Giải bài 7.40 Trang 45 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Để tìm ra cách làm của Vuông, chúng ta cùng rút gọn đa thức $P(x)$ theo các bước sau:

Bước 1: Khai triển cụm nhân đơn thức với đa thức

• $x^2(7x - 5) = x^2 \cdot 7x + x^2 \cdot (-5) = 7x^3 - 5x^2$

Bước 2: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức

• $(28x^5 - 20x^4 - 12x^3) : 4x^2$

• $= (28x^5 : 4x^2) - (20x^4 : 4x^2) - (12x^3 : 4x^2)$

• $= 7x^3 - 5x^2 - 3x$

Bước 3: Thu gọn toàn bộ biểu thức P(x)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

Bước 4: Thay giá trị $a = 5$ vào biểu thức đã rút gọn

Với $P(x) = 3x$, khi $a = 5$, ta có:

Kết luận: Vuông đã rút gọn đa thức $P(x)$ về dạng đơn giản nhất là $3x$ trước khi thay số $a = 5$. Đây chính là bí quyết giúp Vuông tính nhanh và thắng cuộc!

Tổng kết kiến thức

• Thứ tự thực hiện: Luôn ưu tiên rút gọn biểu thức trước khi tính giá trị tại một điểm cụ thể.

• Quy tắc dấu: Khi phá ngoặc có dấu trừ đằng trước, phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong: $-(7x^3 - 5x^2 - 3x) = -7x^3 + 5x^2 + 3x$.

• Chia đơn thức: Lấy hệ số chia hệ số, phần biến chia phần biến (trừ số mũ).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không rút gọn: Lao vào tính toán ngay với $x = 5$ khiến con số lên tới hàng nghìn, dễ bị rối.

• Sai dấu khi phá ngoặc: Đây là lỗi phổ biến nhất. Học sinh thường quên không đổi dấu hạng tử cuối cùng ($-3x$ thành $+3x$).

• Nhầm lẫn lũy thừa: Khi chia $x^5 : x^2$, một số bạn tính nhầm thành $x^{5/2}$ thay vì $x^{5-2} = x^3$.

Mẹo giải nhanh

Trong các cuộc thi tương tự, bạn chỉ cần nhìn nhanh các hệ số bậc cao nhất:

1. Bậc cao nhất của cụm đầu là $7x^3$.

2. Bậc cao nhất của cụm chia là $28x^5 : 4x^2 = 7x^3$.

3. Hai cụm này trừ nhau sẽ triệt tiêu hết $x^3$ và tương tự với $x^2$.

4. Khi đó biểu thức chỉ còn lại bậc thấp nhất, giúp bạn "nhẩm" ra kết quả trong vài giây.