Giải bài 2.8 trang 51 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 4, 9, 14, 19, ...;

b) 1, – 1, – 3, – 5, ....

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, bạn cần nhớ hai công thức quan trọng của cấp số cộng:

• Công sai ($d$): Là hiệu giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ. Công thức: d=u_n+1​−u_n​.

• Số hạng tổng quát (un​): Cho phép bạn tính bất kỳ số hạng nào của dãy khi biết số hạng đầu (u₁​) và công sai ($d$). Công thức: u_n​=u₁​+(n−1)d.

Với mỗi dãy số, chúng ta sẽ lần lượt áp dụng các công thức trên để tìm các giá trị yêu cầu.

Lời giải chi tiết:

a) Với cấp số cộng: 4, 9, 14, 19, ...

Ta có:

- Công sai của cấp số cộng đã cho là: d = 9 – 4 = 5.

- Số hạng đầu của cấp số cộng là: u₁ = 4.

- Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là:

 u₅ = u₁ + (5 – 1)d = 4 + 4.5 = 24.

- Số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

u_n = u₁ + (n – 1)d = 4 + (n – 1) . 5

= 4 + 5n – 5 = 5n – 1

hay u_n = 5n – 1.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: u₁₀₀ = 5 . 100 – 1 = 499.

b) Với cấp số cộng

Ta có:

- Công sai của cấp số cộng đã cho là: d = –1 – 1 = –2.

- Số hạng đầu của cấp số cộng là: u₁ = 1.

- Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là:

u₅ = u₁ + (5 – 1)d = 1 + 4 . (–2) = –7.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . (–2)

= 1 – 2n + 2 = –2n + 3

hay u_n = –2n + 3.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: u₁₀₀ = (–2) . 100 + 3 = –197.