Giải bài 2.11 trang 51 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2 700?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:  Trong đó:

• S_n​ là tổng của $n$ số hạng đầu.

• u₁​ là số hạng đầu tiên.

• $d$ là công sai.

• $n$ là số số hạng cần tìm.

Các bước giải:

1. Thay số liệu: Thay các giá trị đã biết (u₁​=5, $d=2$, S_n​=2700) vào công thức trên.

2. Giải phương trình: Biến đổi phương trình để tìm $n$. Phương trình thu được là một phương trình bậc hai với ẩn là $n$.

3. Kiểm tra điều kiện: Giải phương trình và chọn nghiệm $n$ thỏa mãn điều kiện là một số nguyên dương, vì $n$ đại diện cho số lượng số hạng.

Lời giải chi tiết:

Cấp số cộng có u₁ = 5 và d = 2. Giả sử tổng của n số hạng đầu bằng 2 700. Khi đó ta có:

Vậy:

⇔ n(10 + 2n – 2) = 5 400

⇔ n(2n + 8) – 5 400 = 0

⇔ 2n² + 8n – 5 400 = 0

Giải phương trình bậ 2 được nghiệm n = 50 hoặc n = -54.

Chỉ có n = 50 thoả điều kiện.

Vậy tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng 2 700.

Nghĩa là, phải lấy 50 số hạng đầu của cấp số cộng để có tổng bằng 2 700.