Giải bài 2.13 trang 51 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền kề trước nó).

Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài mô tả số ghế trong mỗi hàng của một hội trường.

• Hàng 1 có 15 ghế.

• Hàng 2 có 18 ghế.

• Hàng 3 có 21 ghế.

• Số ghế ở hàng sau hơn hàng trước 3 ghế.

Đây là một dãy số mà số hạng sau bằng số hạng trước cộng thêm một hằng số, do đó nó chính là một cấp số cộng.

• Số hạng đầu (u_1​): 15

• Công sai ($d$): 3

Bài toán yêu cầu tìm số hàng ghế tối thiểu ($n$) để tổng số ghế trong hội trường đạt ít nhất 870. Điều này có nghĩa là chúng ta cần giải bất phương trình liên quan đến tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là:

Ta sẽ thiết lập bất phương trình S_n​≥870 và giải để tìm $n$.

Lời giải chi tiết:

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 15 và công sai d = 3.

Giả sử cần thiết kế tối thiểu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi. Ta có:

Vậy:

⇔ n(30 + 3n – 3) ≥ 1 740

⇔ n(3n + 27) – 17 40 ≥ 0

⇔ 3n² + 27n – 1 740 ≥ 0

⇔ n ≤ -29 hoặc n≥ 20

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa yêu cầu bài toán.