Bài 1.46 trang 44 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, các em sẽ thực hiện các bước sau:

1. Thiết lập hàm số chi phí: Gọi $x$ là khoảng cách từ B đến M. Từ đó, biểu diễn quãng đường trên đất liền (AM) và quãng đường trên biển (MC) theo $x$.

2. Xây dựng hàm số chi phí $T(x)$: Tổng chi phí bằng (chi phí trên đất liền) + (chi phí trên biển).

3. Tìm miền giá trị của biến: $x$ là khoảng cách trên đoạn AB, nên $0\le x\le 10$.

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: Sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số chi phí trên đoạn $[0;10]$.

5. Kết luận: Dựa vào kết quả, xác định vị trí của M để tổng chi phí là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Đặt MB = x (km, 0 ≤ x ≤ 10)

Khi đó: Am = 10 - x (km)

và  (km)

Khi đó, chi phí nối điện từ A đến C là:

 (triệu đồng)

Ta có:  

⇔ 25x² = 9x² + 144 ⇔ x = 3 (vì 0 ≤ x ≤ 10)

Ta có: f(0) = 500; f(3) = 460; f(10) = 100 nên chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng khi x = 3

Vậy M cách B một khoảng 3km trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.