Bài 7.22 trang 35 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: Bài Toán Chuyển Động Hà Nội - Yên Bái

Bài 7.22 Trang 35 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Một xe khách đi từ Hà Nội lên Yên Bái (trên đường cao tốc Hà Nội - Lào Cai) với vận tốc 60 km/h. Sau đó 25 phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội lên Yên Bái (đi cùng đường với xe khách) với vận tốc 85 km/h. Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường.

a) Gọi D(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và K(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát cho đến khi xe du lịch đi được x giờ. Tìm D(x) và K(x).

b) Chứng tỏ rằng đa Một xe khách đi từ Hà Nội lên Yên Bái (trên đường cao tốc Hà Nội - Lào Cai) với vận tốc 60 km/h thức f(x) = K(x) - D(x) có nghiệm x = 1. Hãy giải thích ý nghĩa nghiệm x = 1 của đa thức f(x).

Phân tích nhanh

Để giải bài tập này, chúng ta cần áp dụng công thức tính quãng đường: $s = v \cdot t$.

1. Đổi đơn vị: Thời gian chênh lệch giữa hai xe cần được đổi sang đơn vị giờ để khớp với vận tốc (km/h).

2. Lập đa thức: Xác định thời gian di chuyển của mỗi xe dựa trên mốc thời gian $x$ (giờ) của xe du lịch.

3. Chứng minh nghiệm: Thay giá trị $x = 1$ vào đa thức $f(x)$. Nếu kết quả bằng $0$, $x = 1$ là nghiệm.

4. Ý nghĩa thực tế: Khi hiệu quãng đường bằng $0$, nghĩa là hai xe đang ở cùng một vị trí.

Giải Bài 7.22 Trang 35 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

a) Tìm đa thức D(x) và K(x)

Đổi $25$ phút = $\frac{25}{60}$ giờ = $\frac{5}{12}$ giờ.

• Xe du lịch: Đi được trong thời gian $x$ giờ với vận tốc $85$ km/h.

  Đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch là: $D(x) = 85x$.

• Xe khách: Xuất phát trước xe du lịch $\frac{5}{12}$ giờ, nên khi xe du lịch đi được $x$ giờ thì xe khách đã đi được thời gian là $x + \frac{5}{12}$ (giờ).

  Đa thức biểu thị quãng đường xe khách là: $K(x) = 60(x + \frac{5}{12})$.

  Thu gọn: $K(x) = 60x + 25$.

b) Chứng minh nghiệm x = 1 và giải thích ý nghĩa

Ta có đa thức hiệu quãng đường:

Chứng minh nghiệm:

Thay $x = 1$ vào đa thức $f(x)$, ta được:

Vì $f(1) = 0$ nên $x = 1$ là nghiệm của đa thức $f(x)$.

Ý nghĩa của nghiệm $x = 1$:

$f(x)$ biểu thị hiệu quãng đường giữa xe khách và xe du lịch. Khi $f(x) = 0$, nghĩa là quãng đường đi được của hai xe bằng nhau ($K(x) = D(x)$).

Do hai xe cùng xuất phát từ Hà Nội và đi cùng một tuyến đường, nên khi quãng đường bằng nhau, hai xe sẽ gặp nhau.

Kết luận: Sau 1 giờ kể từ khi xe du lịch xuất phát, xe du lịch sẽ đuổi kịp và gặp xe khách.

Tổng kết kiến thức

• Cách lập đa thức chuyển động: Luôn chú ý đơn vị và mốc thời gian xuất phát của các xe. Xe nào xuất phát trước thì cộng thêm thời gian vào biến $x$.

• Nghiệm của đa thức: Trong các bài toán thực tế, nghiệm thường đại diện cho một "điểm cân bằng" hoặc thời điểm xảy ra sự kiện đặc biệt (như gặp nhau).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Đổi đơn vị sai: Lấy $25$ phút bằng $0,25$ giờ là sai. Nhớ chia cho $60$ để ra đơn vị giờ chính xác.

• Thiết lập thời gian nhầm: Lấy thời gian xe khách là $x - \frac{5}{12}$. Hãy nhớ xe khách đi trước nên thời gian của nó phải lớn hơn thời gian của xe du lịch.

• Quên phá ngoặc: Khi tính $f(x) = K(x) - D(x)$, một số bạn quên không nhân phân phối số $60$ vào trong ngoặc của $K(x)$.

Mẹo giải nhanh

Để kiểm tra kết quả:

1. Tính quãng đường xe du lịch sau 1 giờ: $85 \cdot 1 = 85$ km.

2. Tính quãng đường xe khách sau 1 giờ (kể từ khi xe du lịch chạy): $60 \cdot (1 + \frac{5}{12}) = 60 + 25 = 85$ km.

3. Hai kết quả bằng nhau cho thấy xe du lịch đã đuổi kịp xe khách tại vị trí cách Hà Nội $85$ km.