Bài 7.21 trang 35 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: Cộng, Trừ Đa Thức Một Biến

Bài 7.21 Trang 35 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Cho hai đa thức P = -5x⁴ + 3x³ + 7x² + x - 3 và Q = 5x⁴ - 4x³ - x² + 3x + 3.

a) Xác định bậc của mỗi đa thức P + Q và P - Q.

b) Tính giá trị của mỗi đa thức P + Q và P - Q tại x = 1; x = -1.

c) Đa thức nào trong hai đa thức P + Q và P - Q có nghiệm là x = 0?

Phân tích nhanh

Bài toán này yêu cầu thực hiện các kỹ năng trọng tâm của chương Đa thức:

1. Cộng, trừ đa thức: Nhóm các đơn thức đồng dạng (cùng số mũ) để thu gọn. Lưu ý đổi dấu toàn bộ các hạng tử bên trong ngoặc khi có dấu trừ phía trước.

2. Xác định bậc: Là số mũ lớn nhất của biến sau khi đã thu gọn.

3. Tính giá trị: Thay số vào biến và thực hiện phép tính cẩn thận với lũy thừa số âm.

4. Xác định nghiệm: Một số được gọi là nghiệm nếu thay vào đa thức làm cho giá trị đa thức bằng $0$.

Giải Bài 7.21 Trang 35 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

a) Xác định bậc của mỗi đa thức P + Q và P - Q

• Tính P + Q:

Hạng tử có bậc cao nhất là $-x^3$. Vậy bậc của đa thức $P + Q$ là 3.

• Tính P - Q:

Hạng tử có bậc cao nhất là $-10x^4$. Vậy bậc của đa thức $P - Q$ là 4.

b) Tính giá trị của mỗi đa thức tại x = 1 và x = -1

• Với đa thức P + Q:

• Tại $x = 1$: $P + Q = -(1)^3 + 6 \cdot (1)^2 + 4 \cdot 1 = -1 + 6 + 4 = 9$.

• Tại $x = -1$: $P + Q = -(-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) = 1 + 6 - 4 = 3$.

• Với đa thức P - Q:

• Tại $x = 1$: $P - Q = -10 \cdot (1)^4 + 7 \cdot (1)^3 + 8 \cdot (1)^2 - 2 \cdot 1 - 6 = -10 + 7 + 8 - 2 - 6 = -3$.

• Tại $x = -1$: $P - Q = -10 \cdot (-1)^4 + 7 \cdot (-1)^3 + 8 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 6 = -10 - 7 + 8 + 2 - 6 = -13$.

c) Đa thức nào có nghiệm là x = 0?

• Thay $x = 0$ vào $P + Q$: $-0^3 + 6 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 = 0$.

• Thay $x = 0$ vào $P - Q$: $-10 \cdot 0^4 + 7 \cdot 0^3 + 8 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 6 = -6$.

Vì $P + Q = 0$ tại $x = 0$ nên đa thức $P + Q$ có nghiệm là $x = 0$.

Tổng kết kiến thức

• Quy tắc dấu ngoặc: Phía trước ngoặc là dấu "$-$" thì phải đổi dấu tất cả hạng tử bên trong.

• Nghiệm của đa thức: Nếu $A(a) = 0$ thì $a$ là nghiệm. Đặc biệt, nếu đa thức không có hệ số tự do (mọi hạng tử đều chứa $x$), thì $x = 0$ luôn là một nghiệm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên đổi dấu: Đây là lỗi kinh điển khi tính $P - Q$. Hãy luôn viết bước phá ngoặc thật chậm để kiểm soát dấu.

• Sai sót lũy thừa số âm: Ví dụ $(-1)^3 = -1$ nhưng $(-1)^4 = 1$. Nhiều em thường nhầm lẫn dấu tại bước này.

• Bỏ sót hạng tử: Khi cộng/trừ các đa thức dài, hãy dùng bút chì đánh dấu các đơn thức đồng dạng đã tính xong.

Mẹo giải nhanh

• Kiểm tra nghiệm $x = 0$: Bạn không cần thay số! Chỉ cần nhìn vào đa thức, nếu đa thức không có hệ số tự do (ví dụ như $P+Q = -x^3 + 6x^2 + 4x$), thì chắc chắn $x = 0$ là nghiệm. Ngược lại, nếu có hệ số tự do khác $0$ (như số $-6$ ở $P-Q$), thì $x = 0$ không thể là nghiệm.