Giải bài 4.4 trang 80 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng: 

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh đẳng thức BM=BC/3​, chúng ta sẽ sử dụng định lý Thalès. Định lý này cho phép chúng ta thiết lập các tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được tạo ra khi một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

1. Vẽ đường trung tuyến: Kẻ đường trung tuyến từ đỉnh C hoặc B. Tuy nhiên, cách hiệu quả nhất là kẻ đường trung tuyến từ A đi qua trọng tâm G.

2. Sử dụng tính chất trọng tâm: Trọng tâm G chia đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1.

3. Áp dụng định lý Thalès: Vì đường thẳng $d$ song song với cạnh $AB$, nó cắt hai cạnh $AC$ và $BC$ của tam giác $ABC$. Điều này tạo ra một tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên hai cạnh đó.

4. Kết hợp các tỉ lệ: Kết hợp các tỉ lệ từ tính chất trọng tâm và định lý Thalès để chứng minh đẳng thức cuối cùng.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có: 

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta có:

Ta có  (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên:

 (đpcm)