Tìm số giao điểm của đồ thị (hàm bậc 3) với trục hoành Ox? Toán lớp 12 - Hỏi đáp

Nếu các em chưa biết cách tìm Số giao điểm của đồ thị với trục hoành (hàm bậc 3) như nào? thì nội dung bài viết này chính là dành cho các em.

1. Số giao điểm của đồ thị (hàm bậc 3) với trục hoành

Cho hàm số bậc 3 có dạng: y = f(x) = ax³ + bx² + cx  + d với (a ≠ 0) chứa tham số m.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = 0 (*)

Trường hợp không thể nhẩm nghiệm, hoạc không tác riêng được m và x của phương trình (*) thì ta thực hiện như sau:

Tính f'(x) =  3ax² + 2bx + c,   (**)

Có: Δ' = b² – 3ac

• Để hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 1 điểm thì phương trình (**) không có điểm cực trị nào hoặc pt(**) có 2 nghiệm phân biệt nằm cùng một phía đối với trục hoành, tức là:

 (Với x₁, x₂ là nghiệm của f'(x) = 0)

• Để hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 2 điểm thì phương trình (**) có 2 nghiệm và f(x₁) = 0 hoặc f(x₂) = 0. (Với x₁, x₂ là nghiệm của f'(x) = 0)

 • Để hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm thì phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt và 2 điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành.

2. Tìm số giao điểm của đồ thị (hàm bậc 3) với trục hoành theo m

* Ví dụ: Cho hàm số bậc ba: y= f(x) = x³ – 3mx² + 3(m² – 1)x – m² + 1

a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm.

c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

* Lời giải:

a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Ta có: f'(x) = 3x² – 6mx + 3(m² – 1) = 0

Δ' = 9m² – 9(m² – 1) = 9 > 0

nên phương trình có 2 nghiệm: x₁ = m – 1 hoặc x₂ = m + 1

Suy ra: y_CD = (m – 1)³ – 3m(m – 1)² + 3(m² – 1)(m – 1) – m² + 1 = m³ – m² – 3m + 3

y_CT =  (m + 1)³ – 3m(m + 1)² + 3(m² – 1)(m + 1) – m² + 1 = m³ – m² – 3m – 1

Khi đó để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì:

y_CT.y_CD < 0 ⇔ (m³ – m² – 3m + 3)(m³ – m² – 3m – 1) < 0

⇔ (m² – 1)(m² – 3)(m² – 2m – 1) < 0

 (*)

Vậy với m thoả (*) thì hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm: 

 Ta có: f'(x) = 3x² – 6mx + 3(m² – 1) = 0

Δ' = 9m² – 9(m² – 1) = 9 > 0

nên phương trình có 2 nghiệm: x₁ = m – 1 hoặc x₂ = m + 1

Suy ra:

f(x₁) = (m – 1)³ – 3m(m – 1)² + 3(m² – 1)(m – 1) – m² + 1 = m³ – m² – 3m + 3 = 0 

⇔ (m – 1)(m² – 3) = 0 

f(x₂) = (m + 1)³ – 3m(m + 1)² + 3(m² – 1)(m + 1) – m² + 1 = m³ – m² – 3m – 1

⇔ (m + 1)(m² – 2m – 1) = 0

Vậy với  thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 2 điểm.

c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm thì:

y_CT.y_CD > 0 ⇔ (m³ – m² – 3m + 3)(m³ – m² – 3m – 1) > 0

⇔ (m² – 1)(m² – 3)(m² – 2m – 1) > 0

Lập bảng xét đấu để được kết quả.