Giải bài 5 trang 17 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

a) Chứng minh rằng biểu thức P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Chứng minh rằng biểu thức Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, các em cần thực hiện các bước sau:

1. Rút gọn biểu thức: Nhân các đơn thức, đa thức và thu gọn biểu thức đã cho. Bước này giúp đơn giản hóa bài toán.

2. Đánh giá biểu thức đã rút gọn: Sử dụng kiến thức về lũy thừa, đặc biệt là tính chất x²≥0 với mọi giá trị của $x$, để chứng minh biểu thức luôn lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0.

   • Để chứng minh biểu thức luôn âm, ta cần đưa nó về dạng $A\le c<0$.

   • Để chứng minh biểu thức luôn dương, ta cần đưa nó về dạng $B\ge c>0$.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng biểu thức P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị biến x

Ta có: P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9)

= (10x – 5x²) – (x² + 9x + x + 9)

= (10x – 5x²) – (x² + 10x + 9)

= 10x – 5x² – x² – 10x – 9

= (–5x² – x²) + (10x – 10x) – 9

= –6x² – 9.

Vì x² ≥ 0 ⇒ –x² ≤ 0 ⇒ –6x² ≤ 0

Nên P = –6x² – 9 ≤ –9 < 0

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì P < 0

Vậy biểu thức P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b)Chứng minh rằng biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Ta có: Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1

= 3x² + x² – 4xy – 12x + 4xy + 12x + 1

= (3x² + x²) + (4xy – 4xy) + (12x – 12x) + 1

= 4x² + 1

Vì x² ≥ 0 ⇒ 4x² ≥ 0

Nên Q = 4x² + 1 ≥ 1 > 0.

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì Q > 0

Vậy biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.