Giải bài 9 trang 121 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm D, G sao cho AD = CG < AC. Từ điểm D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AB). Chứng minh tứ giác CDEG là hình chữ nhật.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh tứ giác $CDEG$ là hình chữ nhật, chúng ta có thể sử dụng một trong các dấu hiệu nhận biết sau:

• Tứ giác có ba góc vuông.

• Hình bình hành có một góc vuông.

• Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

Trong bài toán này, cách tiếp cận hiệu quả nhất là chứng minh tứ giác này là hình bình hành và sau đó chỉ ra nó có một góc vuông.

Các bước giải sẽ là:

1. Sử dụng tính chất của tam giác $ABC$ vuông cân để xác định số đo các góc.

2. Chứng minh hai cạnh đối của tứ giác bằng nhau và song song.

3. Sử dụng dấu hiệu nhận biết để kết luận $CDEG$ là hình bình hành.

4. Chỉ ra một góc của hình bình hành là góc vuông để kết luận đó là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

• Vì ΔABC vuông cân tại C (giả thiết) nên: 

• Xét ΔADE vuông tại D (do DE ⊥ AC) có:

 (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

• Xét ΔADE vuông tại D có 

Nên ΔADE vuông cân tại D

⇒ AD = ED.

Mà AD = CG nên ED = CG.

• Xét tứ giác CDEG có:

ED = CG (chứng minh trên);

ED // CG (do cùng vuông góc với AC)

⇒ CDEG là hình bình hành

Mặt khác: 

⇒ CDEG là hình chữ nhật (đpcm)