Giải bài 11 trang 121 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B, N là điểm nằm giữa C và D sao cho AM = CN. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chứng minh:

a) ΔIAM = ΔICN;

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành;

c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

• Phần a: Chứng minh $triangleIAM=triangleICN$.

  • Sử dụng tính chất của hình bình hành $ABCD$ để suy ra các mối quan hệ song song.

  • Từ các đường thẳng song song, tìm các cặp góc so le trong bằng nhau.

  • Kết hợp với giả thiết, sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác (góc - cạnh - góc) để chứng minh.

• Phần b: Chứng minh tứ giác $AMCN$ là hình bình hành.

  • Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

• Phần c: Chứng minh ba điểm $B,I,D$ thẳng hàng.

  • Sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành.

  • Kết hợp kết quả từ phần b với tính chất của hình bình hành $ABCD$ để chứng minh $I$ là trung điểm của $BD$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

 và  (các cặp góc so le trong)

• Xét ΔIAM và ΔICN có:

 (do )

AM = CN (giả thiết);

 (do )

⇒ ΔIAM = ΔICN (g-c-g)

b) Xét tứ giác AMCN có AM = CN (giả thiết) và AM // CN (do AB // CD)

⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Do AMCN là hình bình hành nên hai đường chéo AC, MN cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD.

⇒ Ba điểm B, I, D thẳng hàng.