Giải bài 8 trang 121 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình thoi, chúng ta cần sử dụng một trong các dấu hiệu nhận biết sau:

• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

• Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc.

Trong bài toán này, cách dễ nhất là chứng minh tứ giác $MNPQ$ có bốn cạnh bằng nhau. Để làm được điều đó, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau.

Cụ thể, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Sử dụng tính chất của hình chữ nhật để suy ra các mối quan hệ về độ dài cạnh.

2. Xét các tam giác vuông ở các góc của hình chữ nhật ($AMQ$, $BMN$, $CPN$, $DPQ$) và chứng minh chúng bằng nhau.

3. Từ các tam giác bằng nhau, suy ra các cạnh tương ứng ($MQ$, $MN$, $NP$, $PQ$) bằng nhau.

4. Kết luận tứ giác $MNPQ$ là hình thoi.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và AD = BC.

Vì M là trung điểm của AB nên 

 P là trung điểm của CD nên: 

⇒ MA = MB = PC = PD.

Tương tự ta cũng có QA = QD = NB = NC.

• Xét ΔAMQ và ΔBMN có:

 (do ABCD là hình chữ nhật)

MA = MB (chứng minh trên);

QA = NB (chứng minh trên)

⇒ ΔAMQ = ΔBMN (2 cạnh góc vuông)

⇒ MQ = MN (hai cạnh tương ứng)  (*)

Chứng minh tương tự, ta có:

• ΔBMN = ΔCPN (hai cạnh góc vuông)

⇒ MN = PN (hai cạnh tương ứng)      (**)

• ΔCPN = ΔDPQ (hai cạnh góc vuông)

⇒ PN = PQ (hai cạnh tương ứng)      (***)

Từ (*), (**) và (***) ⇒ MN = PN = PQ = MQ.

⇒ Tứ giác MNPQ có MN = PN = PQ = MQ nên là hình thoi.