Giải bài 2.4 trang 46 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = n - 1

b) 

c) u_n = sinn

d) u_n = (-1)^n-1n²

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xác định một dãy số có bị chặn hay không, ta dựa vào các định nghĩa sau:

• Một dãy số (u_n​) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho u_n​≥m với mọi n∈N∗.

• Một dãy số (u_n​​) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho u_n​≤M với mọi n∈N∗.

• Một dãy số (u_n​​) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên.

Ta sẽ lần lượt xét từng trường hợp để tìm các giới hạn này.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có u_n = n − 1 ≥ 0 (∀n ∈ N*) suy ra u_n bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = n − 1 ≤ M (∀n ∈ N*)

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b) Ta có:

 Với mọi n ∈ N^*

Vậy dãy u_n bị chặn

c) u_n = sinn 

Nên: −1 ≤ u_n ≤ 1(∀n ∈ N*)

Vậy dãy u_n bị chặn

d) u_n = (–1)^n–1n² 

Ta có: (–1)ⁿ⁻¹ = 1 với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.

 (–1)ⁿ⁻¹ = –1 với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.

Lại có: n² ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Nên có: –1.n² ≤ (–1)^n–1n² ≤ 1.n²

 hay –n² ≤ u_n ≤ n² với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.