Giải bài 2.3 trang 46 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 2n - 1

b) u_n = -3n + 2

c) 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xét tính tăng, giảm của một dãy số, ta thường sử dụng một trong hai phương pháp sau:

1. Xét hiệu u_n+1​−un​:

   • Nếu u_n+1​−u_n​>0 với mọi n∈N∗, thì dãy số là dãy tăng.

   • Nếu u_n+1​−u_n​<0 với mọi n∈N∗, thì dãy số là dãy giảm.

   • Nếu hiệu này không xác định dấu (khi dương khi âm), thì dãy số không tăng, không giảm.

2. Xét tỉ số ​​ (chỉ áp dụng khi u_n​>0 với mọi $n$):

   • Nếu $>1$ với mọi n∈N∗, thì dãy số là dãy tăng.

   • Nếu $<1$ với mọi n∈N∗, thì dãy số là dãy giảm.

Trong bài toán này, phương pháp xét hiệu là phù hợp nhất cho cả ba trường hợp.

Lời giải chi tiết:

a) u_n = 2n - 1

Ta có: u_n+1 = 2(n + 1) – 1 = 2n + 2 – 1 = 2n + 1

Xét hiệu u_n+1 − u_n = (2n + 1) – (2n – 1) = 2 > 0,

Tức là u_n+1 > u_n , ∀n ∈ ℕ*.

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

b) u_n = -3n + 2

Ta có: u_n+1 = –3(n + 1) + 2 = –3n – 3 + 2 = –3n – 1

Xét hiệu u_n+1 − u_n = (–3n – 1) – (–3n + 2) = –3 < 0,

Tức là u_n+1 < u_n­, ∀n ∈ ℕ*.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

c) 

Ta thấy:  

...

Nên dãy số (u_n) là dãy không tăng, cũng không giảm.