Giải bài 2.32 trang 57 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức: Cấp số nhân

Đề bài:

Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1.

Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa là được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh bằng bao nhiêu?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán mô tả một quá trình lặp đi lặp lại: mỗi lần chia, một phần diện tích hình vuông được tô màu xanh. Chúng ta cần tính tổng diện tích của tất cả các phần màu xanh đó sau 5 lần lặp lại.

Để giải quyết bài toán, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Tính diện tích lần 1: Xác định diện tích hình vuông được tô màu xanh đầu tiên.

2. Xác định quy luật: Nhận thấy rằng diện tích các hình vuông màu xanh được tô thêm ở mỗi lần lặp lại tạo thành một cấp số nhân.

3. Tìm các tham số: Xác định số hạng đầu (u1​) và công bội ($q$) của cấp số nhân này.

4. Tính tổng: Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân để tìm kết quả cuối cùng.

Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân là: 

Lời giải chi tiết:

• Chia lần 1: Hình vuông màu vàng lớn có cạnh bằng 1 đơn vị thì có diện tích bằng 1 (đvdt). Chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh, thì hình vuông màu xanh đầu tiên này có diện tích bằng 1/9 (đvdt).

• Chia lần 2: 8 hình vuông màu vàng còn lại, mỗi hình vuông này lại được chia thành 9 hình vuông con và tiếp tục tô xanh hình vuông chính giữa, khi đó mỗi hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích  , 8 hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích bằng 8S₁.

•  Cứ tiếp tục như vậy, mỗi lần chia ta sẽ tạo thành 8 hình vuông xanh nhỏ hơn tiếp đối với mỗi ô vuông vàng nhỏ.

Do đó, quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì trừ lần đầu tiên, 4 lần sau, mỗi lần chia diện tích ô vuông xanh tạo thành lập thành một cấp số nhân có  và công bội

Vậy tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là:

(đvdt)