Giải bài 2 trang 24 Toán 10 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

a) x + 2y < 3; 

b) 3x – 4y ≥ – 3; 

c) y ≥ – 2x + 4; 

d) y < 1 – 2x. 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by < c$ (hoặc $\le, >, \ge$), ta thực hiện ba bước sau:

1. Vẽ đường thẳng ranh giới: Vẽ đường thẳng $d: ax + by = c$.

   • Nếu bất phương trình là $< $ hoặc $> $, đường thẳng $d$ phải vẽ bằng nét đứt (không thuộc miền nghiệm).

   • Nếu bất phương trình là $\le $ hoặc $\ge $, đường thẳng $d$ phải vẽ bằng nét liền (thuộc miền nghiệm).

2. Chọn điểm kiểm tra: Lấy một điểm $O(0; 0)$ (nếu $O$ không nằm trên $d$) và thay tọa độ vào bất phương trình.

3. Kết luận và gạch bỏ:

   • Nếu bất đẳng thức đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $O$. Ta gạch bỏ nửa mặt phẳng còn lại.

   • Nếu bất đẳng thức sai, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm O. Ta gạch bỏ nửa mặt phẳng chứa O.

     Miền không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.

Lời giải chi tiết:

a) x + 2y < 3

• Vẽ đường thẳng d: x + 2y = 3.

• Lấy điểm O(0; 0), thay vào BPT ta được: 0 + 2.0 = 0 < 3.

Vậy điểm O nằm trong miền nghiệm của BPT

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + 2y < 3 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d. 

b) 3x – 4y ≥ – 3

• Vẽ đường thẳng d: 3x – 4y = – 3. 

• Lấy điểm O(0; 0) thay vào BPT ta được: 3 . 0 – 4 . 0 = 0 > – 3. 

Vậy điểm O nằm trong miền nghiệm của BPT

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 3x – 4y ≥ – 3 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng d. 

c) y ≥ –2x + 4 ⇔ 2x + y ≥ 4

• Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 4. 

• Lấy điểm O(0; 0) thay vào BPT ta được: 2 . 0 + 0 = 0 < 4. 

Vậy điểm O nằm ngoài miền nghiệm của BPT

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≥ 4 hay chính là y ≥ – 2x + 4 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên kể cả đường thẳng d. 

d) y < 1 – 2x ⇔ 2x + y < 1

• Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 1. 

• Lấy O(0; 0) thay vào BPT ta được: 2 . 0 + 0 = 0 < 1. 

Vậy điểm O nằm trong miền nghiệm của BPT

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x + y < 1 hay chính là y < 1 – 2x là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d.