Giải bài 1 trang 119 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A,B,C,D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A', B', C', D'.

Chứng minh rằng: AA' + CC' = BB' + DD'

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng (P). Các nửa đường thẳng song song với nhau đi qua A, B, C, D tạo thành một lăng trụ. Một mặt phẳng (Q) cắt các nửa đường thẳng này, tạo ra hình bình hành A'B'C'D'.

Để chứng minh đẳng thức AA′+CC′=BB′+DD′, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Nhận dạng hình: Các đường thẳng AA′,BB′,CC′,DD′ song song với nhau. Do đó, các tứ giác ACC′A′ và BDD′B′ là các hình thang (hoặc hình bình hành).

2. Sử dụng đường trung bình: Ta sẽ tìm một đoạn thẳng là đường trung bình của hai hình thang này.

3. Áp dụng công thức đường trung bình: Sử dụng công thức đường trung bình của hình thang để thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Vì AB//CD nên AB//(CDD'C'), AA'//DD' nên DD'//(CDD'C')

Ta có (ABB'A') đi chứa 2 đường thẳng cắt nhau AB và AA' cùng song song với (CDD'C') nên (ABB'A')//(CDD'C')

AD//BC nên AD//(BCC'B'), AA'//BB' nên AA'//(BCC'B')

Ta có (ADD'A') đi chứa 2 đường thẳng cắt nhau AD và AA' cùng song song với (CBB'C') nên (ADD'A')//(CBB'C')

Mặt phẳng (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại A'B' và CD' nên AB'//CD' 

Mặt phẳng (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng song song (ADD'A') và (CBB'C') lần lượt tại A'D' và CB' nên AD'//CB' 

Suy ra A'B'C'D' là hình bình hành, nên A'C' cắt B'D' tại trung điểm O

Gọi O' là giao của AC và BD

Mặt phẳng (AA'C'C) cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại AA' và CC' nên AA'//CC' 

Trong hình thang ACC'A' có OO' là đường trung bình nên AA'+CC' = 2OO'

Mặt phẳng (BDD'B') cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại BB' và DD' nên BB'//DD'

Trong hình thang BDD'B' có OO' là đường trung bình nên BB'+DD' = 2OO'

Vậy AA' + CC' = BB' + DD'