Bài 9.5 trang 62 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán thực tế về bán kính nghe loa truyền thanh

Bài 9.5 Trang 62 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Ba địa điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác ABC với $\widehat{A}$ tù, AC = 500 m. Đặt một loa truyền thanh tại một điểm nằm giữa A và B thì tại C có thể nghe tiếng loa không nếu bán kính để nghe rõ tiếng của loa là 500 m?

Phân tích nhanh

Để biết tại $C$ có nghe rõ tiếng loa hay không, chúng ta cần so sánh khoảng cách từ điểm đặt loa ($D$) đến điểm $C$ với bán kính nghe rõ của loa ($500$ m).

1. Thiết lập hình học: Gọi $D$ là vị trí đặt loa trên đoạn $AB$. Ta cần so sánh độ dài đoạn thẳng $CD$ và $AC$.

2. Vận dụng định lý: Trong tam giác $ACD$, nếu ta chứng minh được $CD > 500$ m thì tại $C$ sẽ không nghe rõ.

Giải bài 9.5 Trang 62 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Ta có hình minh hoạ như sau:

Bước 1: Xác định các yếu tố trong tam giác

Gọi $D$ là điểm đặt loa truyền thanh nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.

Khi đó, ba điểm $A, C, D$ tạo thành tam giác $ACD$.

Bước 2: So sánh các cạnh dựa trên góc đối diện

Xét tam giác $ACD$, ta có:

• Góc $\widehat{CAD}$ chính là góc $\widehat{A}$ của tam giác $ABC$. Theo đề bài, $\widehat{A}$ là góc tù ($> 90^\circ$).

• Trong một tam giác, góc tù luôn là góc lớn nhất. Do đó, $\widehat{CAD}$ là góc lớn nhất trong tam giác $ACD$.

• Cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện với góc $\widehat{CAD}$ trong tam giác này chính là cạnh $CD$.

Bước 3: Đưa ra kết luận về khoảng cách

Vì $CD$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $ACD$ nên $CD$ phải lớn hơn cạnh $AC$.

Mà theo đề bài $AC = 500$ m, suy ra:

Bước 4: Trả lời câu hỏi thực tế

Bán kính tối đa để nghe rõ tiếng của loa là $500$ m. Tuy nhiên, khoảng cách thực tế từ loa ($D$) đến điểm $C$ lại lớn hơn $500$ m.

Vậy tại địa điểm $C$, người nghe không thể nghe rõ tiếng của loa truyền thanh.

Tổng kết kiến thức

• Ứng dụng toán học: Bài toán minh họa cách dùng hình học thuần túy để giải quyết các vấn đề thực tế như đo đạc, truyền tin.

• Định lý cốt lõi: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc tù luôn là cạnh dài nhất.

• So sánh khoảng cách: Khoảng cách lớn hơn bán kính hoạt động đồng nghĩa với việc nằm ngoài vùng phủ sóng/tầm nghe.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không xét tam giác $ACD$: Nhiều bạn chỉ nhìn vào tam giác $ABC$ tổng thể mà quên mất phải xét tam giác chứa điểm đặt loa cụ thể là $D$.

• Nhầm lẫn điều kiện nghe rõ: Cho rằng $CD = 500$ m thì mới nghe rõ. Thực tế, điều kiện nghe rõ là $CD \le 500$ m. Vì $CD > 500$ m nên chắc chắn không nghe rõ.

• Quên lập luận góc tù: Cần khẳng định $\widehat{CAD}$ là góc tù thì mới suy ra được $CD$ là cạnh lớn nhất.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán có điểm nằm trên một cạnh của tam giác tù:

1. Nếu điểm đó nằm trên cạnh kề với góc tù, đường nối từ đỉnh góc tù đến điểm đó sẽ luôn ngắn hơn cạnh đối diện góc tù ban đầu.

2. Đường nối từ một đỉnh góc nhọn đến một điểm bất kỳ trên cạnh đối diện sẽ luôn dài hơn cạnh kề góc tù đó.

3. Hãy luôn vẽ một hình phác thảo đơn giản để thấy rõ "vùng nghe rõ" (hình tròn tâm $D$ bán kính $500$ m) sẽ không bao giờ chạm tới $C$.