Bài 9.4 trang 62 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: So sánh quãng đường đến trường

Bài 9.4 Trang 62 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Ba bạn Mai, Việt và Hà đi đến trường tại địa điểm D lần lượt theo ba con đường AD, BD và CD (H.9.7). Biết rằng ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng, B nằm giữa A và C,  là góc tù. Hỏi bạn nào đi xa nhất, bạn nào đi gần nhất? Vì sao?

Phân tích nhanh

Để tìm bạn nào đi xa nhất (cạnh dài nhất) và gần nhất (cạnh ngắn nhất), chúng ta cần so sánh độ dài ba đoạn thẳng $AD, BD$ và $CD$. Chìa khóa của bài toán nằm ở:

1. Góc ngoài của tam giác: Sử dụng tính chất góc ngoài để xác định tính chất của các góc lân cận.

2. Quan hệ góc và cạnh đối diện: Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Đặc biệt, trong tam giác tù, cạnh đối diện góc tù luôn là cạnh lớn nhất.

Giải bài 9.4 Trang 62 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Dựa vào Hình 9.7 và các dữ kiện đề bài, ta thực hiện so sánh như sau:

Bước 1: So sánh $BD$ và $CD$

Xét tam giác $BCD$, theo đề bài ta có $\widehat{BCD}$ là góc tù.

Trong một tam giác tù, góc tù là góc lớn nhất. Suy ra $\widehat{BCD}$ là góc lớn nhất trong tam giác $BCD$.

Cạnh đối diện với góc $\widehat{BCD}$ là cạnh $BD$.

Do đó, $BD$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $BCD$.

Bước 2: So sánh $AD$ và $BD$

Ta có $\widehat{ABD}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $BCD$.

Theo tính chất góc ngoài của tam giác: $\widehat{ABD} = \widehat{BDC} + \widehat{BCD}$.

Vì $\widehat{BCD}$ là góc tù ($> 90^\circ$) nên $\widehat{ABD}$ chắc chắn cũng là góc tù ($> 90^\circ$).

Xét tam giác $ABD$ có $\widehat{ABD}$ là góc tù, suy ra $\widehat{ABD}$ là góc lớn nhất trong tam giác này.

Cạnh đối diện với góc $\widehat{ABD}$ là cạnh $AD$.

Do đó, $AD$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $ABD$.

Bước 3: Kết luận

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có dãy so sánh: $AD > BD > CD$.

• Bạn Mai đi theo đường $AD$ nên bạn Mai đi xa nhất.

• Bạn Hà đi theo đường $CD$ nên bạn Hà đi gần nhất.

Tổng kết kiến thức

• Góc ngoài tam giác: Luôn lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

• Quy tắc tam giác tù: Chỉ cần xác định được một góc tù, bạn có thể khẳng định ngay cạnh đối diện nó là "vô địch" về độ dài trong tam giác đó.

• Tính chất bắc cầu: Sử dụng $AD > BD$ và $BD > CD$ để đưa ra kết luận cuối cùng cho cả ba đại lượng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không chứng minh $\widehat{ABD}$ tù: Nhiều bạn mặc định nhìn hình thấy $AD$ dài nhất nên kết luận luôn mà không qua bước chứng minh góc $\widehat{ABD}$ tù thông qua góc ngoài.

• Nhầm lẫn giữa các bạn: Xác định đúng $AD$ dài nhất nhưng lại nhầm tên bạn Mai với bạn Việt hoặc Hà. Hãy chú ý kỹ: Mai ($AD$), Việt ($BD$), Hà ($CD$).

• Quên điều kiện $B$ nằm giữa: Dữ kiện này rất quan trọng để xác định thứ tự các điểm trên đường thẳng và tính chất góc kề bù/góc ngoài.

Mẹo giải nhanh

Để giải quyết các bài toán so sánh đường xiên như thế này:

1. Nhìn từ trong ra ngoài: So sánh các cạnh trong tam giác nhỏ trước ($BCD$), sau đó mới tiến ra tam giác lớn ($ABD$).

2. Độ dốc của đường xiên: Đường nào "ngả" ra xa chân đường vuông góc hơn (nếu có) hoặc tạo với đường thẳng chứa các điểm một góc nhọn nhỏ hơn ở phía xa thì thường dài hơn.

3. Vẽ hình nháp: Nếu không có hình sẵn, hãy vẽ góc tù trước, bạn sẽ thấy ngay quy luật các cạnh tăng dần.