Bài 8.9 trang 75 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất người mua sách

Bài 8.9 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách A và B. Thống kê cho thấy 50% người mua sách A; 70% người mua sách B; 30% người mua cả sách A và sách B. Chọn ngẫu nhiên một người mua. Tính xác suất để:

a) Người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B;

b) Người mua đó không mua cả sách A và sách B.

Phân tích lý thuyết

Để giải quyết bài toán này,chúng ta cần xác định mối quan hệ giữa các biến cố.Vì có người mua cả hai loại sách,nên biến cố "mua sách A" và "mua sách B" làhai biến cố không xung khắc.

• Biến cố hợp (Ít nhất một trong hai):Tương ứng với biến cố$A \cup B$.Chúng ta sử dụng công thức cộng xác suất tổng quát:

  $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

• Biến cố đối (Không mua cả hai):Tương ứng với phần còn lại của không gian mẫu sau khi đã loại bỏ những người mua ít nhất một cuốn.

  $$P(\overline{H}) = 1 - P(H)$$

Giải bài 8.9 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố như sau:

• E:“Người mua đó mua cuốn sách A”.

• F:“Người mua đó mua cuốn sách B”.

• G:“Người mua đó mua cả hai cuốn sách A và B” ($G = E \cap F$).

• H:“Người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B” ($H = E \cup F$).

Theo đề bài,ta có các xác suất sau:

• $P(E) = 50\% = 0,5$

• $P(F) = 70\% = 0,7$

• $P(G) = 30\% = 0,3$

a) Tính xác suất để người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B

Áp dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố không xung khắc:

Kết luận: Xác suất để người đó mua ít nhất một trong hai cuốn sách A hoặc B là 0,9.

b) Tính xác suất để người mua đó không mua cả sách A và sách B

Biến cố “Người đó không mua cả sách A và sách B” chính là biến cố đối của biến cố $H$ (ký hiệu là $\overline{H}$).

Áp dụng công thức tính xác suất của biến cố đối:

Kết luận: Xác suất để người đó không mua cuốn sách nào trong hai cuốn trên là 0,1.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Cụm từ "Ít nhất một": Thường chỉ biến cố hợp của hai hoặc nhiều biến cố.

• Lưu ý về phần giao: Khi tính xác suất hợp, phải trừ đi phần giao ($P(E \cap F)$) để tránh việc một đối tượng được tính hai lần.

• Biến cố đối: Là phương pháp nhanh nhất để tính xác suất cho các trường hợp mang tính phủ định hoàn toàn.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Quên trừ phần chung: Nhiều bạn lấy $0,5 + 0,7 = 1,2$. Đây là một kết quả vô lý vì xác suất không bao giờ lớn hơn 1. Lỗi này do các bạn quên trừ đi 30% số người đã nằm trong cả hai nhóm.

2. Nhầm lẫn giữa xác suất và số lượng: Trong bài này dữ liệu cho dưới dạng %, bản chất chính là xác suất nên các bạn có thể tính toán trực tiếp trên số thập phân.

3. Diễn đạt nội dung biến cố: Cần ghi rõ các ký hiệu biến cố để tránh nhầm lẫn khi áp dụng công thức.

Mẹo giải nhanh bằng sơ đồ Venn

Các bạn có thể hình dung qua sơ đồ Venn:

• Vùng chung giữa hai vòng tròn là 0,3.

• Vùng chỉ mua sách A: $0,5 - 0,3 = 0,2$.

• Vùng chỉ mua sách B: $0,7 - 0,3 = 0,4$.

• Tổng vùng mua ít nhất một loại: $0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9$.

• Vùng nằm ngoài cả hai vòng tròn: $1 - 0,9 = 0,1$.