Bài 7.33 trang 58 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.33 trang 58 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(– 1; 0) và B(3; 1). 

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B. 

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. 

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.

Phân tích Phương pháp Giải

• Phần a: Bán kính $R = AB$.

• Phần b: Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$, sau đó tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.

• Phần c: Bán kính $R$ bằng khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $AB$ vừa tìm được ở câu b.

Giải bài 7.33 trang 58 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Đường tròn tâm A đi qua B có bán kính:

$R=AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-0)^2}=\sqrt{17}$

Phương trình đường tròn tâm A(– 1; 0) và đi qua B là: 

$(x-(-1))^2+(y-0)^2=(\sqrt{17})^2$

⇔ y (x + 1)² + y² = 17. 

b) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: 

$\overrightarrow{AB}=(3-(-1);(1-0))=(4;1)$

Nên AB có một vectơ pháp tuyến của AB là: $\overrightarrow{n}=(1;-4)$

Đường thẳng AB đi qua điểm A(– 1; 0) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;-4)$

Nên phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:

1(x + 1) – 4( y – 0) = 0

⇔ x – 4y + 1 = 0. 

c) Đường tròn tâm O(0; 0) tiếp xúc với đường thẳng AB có bán kính bằng khoảng cách từ O đến AB. 

Ta có: $R=d(O;AB)=\frac{|0-4.0+1|}{\sqrt{1^2+(-4)^2}}$ $=\frac{1}{\sqrt{17}}

Phương trình đường tròn tâm O có bán kính $R=\frac{1}{\sqrt{17}}$ là: 

$(x-0)^2+(y-0)^2$ $=\left ( \frac{1}{\sqrt{17}} \right )^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{1}{17}$