Bài 7.32 trang 58 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.32 trang 58 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.

Công thức Áp dụng

1. Độ dài cạnh $BC$: $BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}$.

2. Phương trình đường thẳng $BC$: Viết dưới dạng tổng quát $Ax + By + C = 0$.

3. Khoảng cách từ $A$ đến $BC$ ($h_A$): $d(A, BC) = \frac{|Ax_A + By_A + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

4. Diện tích: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot d(A, BC)$.

Giải bài 7.32 trang 58 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Độ dài đường cao từ đỉnh A đến BC chính bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC, do đó diện tích của tam giác ABC bằng nửa tích khoảng cách từ A đến BC với BC. 

Ta viết phương trình đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là:

$\overrightarrow{BC}=(-2-3;4-5)=(-5;-1)$  và đi qua B(3; 5).

Nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: $\overrightarrow{n}=(1;-5)$

Do đó, phương trình đường thẳng BC là:

1.(x – 3) – 5.(y – 5) = 0 

⇔ x – 5y + 22 = 0. 

Áp dụng công thức khoảng cách ta có:

$d(A;BC)=\frac{|1-5.(-1)+22|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}$ $=\frac{14\sqrt{26}}{13}$

Độ dài đoạn BC là: $BC=\sqrt{(3-(-2))^2+(5-4)^2}=\sqrt{26}$

Vậy diện tích tam giác ABC là: S_ABC = $\frac{1}{2}$d(A; BC) . BC 

$=\frac{1}{2}.\frac{14\sqrt{26}}{13}.\sqrt{26}=14\:(dvdt)$

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 14 (đvdt).