Giải bài 3.9 trang 43 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài 3.9 trang 43 Toán 10:

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng – ten cao 5m, Từ một vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng – ten, với các góc tương ứng là 50⁰ và 40⁰ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hình dung mô hình hóa tình huống đã cho thành một mô hình hình học.

• Tòa nhà và cột ăng-ten tạo thành một đoạn thẳng đứng.

• Vị trí quan sát A cách mặt đất 7m.

• Các góc quan sát được so với phương nằm ngang sẽ giúp ta xác định các góc trong tam giác ABC.

Phần a: Tính các góc của tam giác ABC

• Ta sẽ sử dụng các góc đã cho (50° và 40°) để tìm các góc của tam giác ABC. Cần chú ý đến các góc kề bù, so le trong, hoặc phụ nhau để tính toán.

Phần b: Tính chiều cao của tòa nhà

• Ta sẽ sử dụng định lý sin để tính độ dài cạnh AC hoặc BC.

• Sau đó, sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tìm chiều cao của tòa nhà.

Lời giải bài 3.9 trang 43 Toán 10:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Ta có: $\widehat{BAC}=50^0-40^0=10^0$

Xét ΔABH, vuông tại H, có:

$\widehat{CBA}+\widehat{BAH}=90^0$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{CBA}=90^0-\widehat{BHA}=90^0-50^0=40^0$

Xét ΔABC, có: 

\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}-\widehat{CBA} = 180⁰ – 10⁰ – 40⁰ = 130⁰.

Vậy $\widehat{BAC}=10^0,\: \widehat{CBA}=40^0,\: \widehat{ACB}=130^0$

b) Xét ΔABC, theo định lý hàm sin có:

$\frac{AB}{sin\widehat{BCA}}=\frac{BC}{sin\widehat{BAC}}$  $\Leftrightarrow \frac{AB}{sin130^0}=\frac{5}{sin10^0}$

$\Rightarrow AB=\frac{5}{sin10^0}.sin130^0\approx 22,06(m)$

Xét ΔABH, có: 

$BH=AB.sin\widehat{BAH}$  $\approx 22,06.sin50^0\approx 16.9(m)$

⇒ CH = BH – BC ≈ 16,9 – 5 = 11,9 (m)

Do đó, chiều cao của tòa nhà là: 11,9 + 7 = 18,9 (m).

Vậy chiều cao của tòa nhà xấp xỉ bằng 18,9 m.