Giải bài 2.14 trang 32 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài 2.14 trang 32 Toán 10:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix} y-2x\leq 2\\ y\leq 4\\ x\leq 5\\ x+y\geq -1 \end{matrix}\right.$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = –x – y với (x; y) thỏa mãn hệ trên.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này có hai phần chính.

Phần 1: Biểu diễn miền nghiệm.

Đây là bước cơ bản. Ta sẽ biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Miền nghiệm của cả hệ là phần giao nhau của tất cả các miền nghiệm đó.

Phần 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Đây là phần ứng dụng. Khi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức trên một miền nghiệm là đa giác, một nguyên lý quan trọng là giá trị đó thường đạt được tại các đỉnh của đa giác. Do đó, chúng ta chỉ cần xác định tọa độ các đỉnh của miền nghiệm, sau đó thay lần lượt các tọa độ này vào biểu thức $F(x;y)$ để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Lời giải bài 2.14 trang 32 Toán 10:

+ Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình y – 2x ≤ 2 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d₁ : –2x + y = 2.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) thay vào d₁ được: -2.0 + 0 = 0 < 2. Nên điểm O nằm trong miền nghiệm của bất phương trình.

Nên miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (bao gồm cả d₁) chứa gốc tọa độ.

+ Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≤ 4 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d₂: y = 4 chứa gốc tọa độ.

+ Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≤ 5 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d₃: x = 5 chứa gốc tọa độ.

+ Xác định miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + y ≥ –1 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d₄ : x + y = –1.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) thay vào d₄ được: 0 + 0 = 0 > –1. Nên điểm O nằm trong miền nghiệm của bất phương trình.

Nên miền nghiệm D₄ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d₄ (bao gồm cả d₄) chứa gốc tọa độ.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các điểm là: A(–1; 0), B(1; 4), C(5; 4), D(5; –6) như hình trên.

Tính giá trị biểu thức F(x; y) = –x – y tại các điểm A, B, C, D

F(–1; 0) = –(–1) – 0 = 1;

F(1; 4) = –1 – 4 = –5;

F(5; 4) = –5 – 4 = –9;

F(5; –6) = –5 – (–6) = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F = 1 tại (x; y) = (–1;0) hoặc (x;y) = (5; –6)

Và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = –9 tại (x; y) = (5;4)